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Bedingte Wahrscheinlichkeit bei Zwillingen

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

Analina aktiv_icon

20:36 Uhr, 07.05.2017

N'abend

Habe folgende Aufgabe, die ich jetzt mal stumpf auf das wichtigste reduziere:

Die wahrscheinlichkeit dass Zwillinge das gleiche Geschlecht haben, beträgt

64 %

. Dass ein Neugeborenes ein Junge ist,

51 %

. Wie hoch ist die W'keit, dass der zweite Zwilling ein Junge ist, unter der Bedingung, dass der erste ein Junge ist.

Da wir grad bei Bedingte Wahrscheinlichkeit/Bayes Formel sind, geh ich mal davon aus, dass man sie anwenden muss, sehe aber nicht wie. Mein 1. primitiver Gedankengang war ähnlich einem Baumdiagramm: Zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass beide das Gleiche Geschlecht haben, danach eben 2 mal ein Junge, sprich wenn man den entsprechenden Pfad langgehehen würde:

0,64 \cdot 0,51 \cdot 0,51

Aber wie gehts denn richtig? Wenn wir sagen würden: Ereignis "Junge" sei A. Dann hätte ich jetzt nur gedacht:

P (A | A),

was ja an sich wenig Sinn macht. Oder muss es sein

P (A | B),

wobei B="Beide Zwillinge haben das gleiche Geschlecht" ist? Das macht für mich auch keinen Sinn. Wie muss man vorgehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

21:29 Uhr, 07.05.2017

Hallo
Du kannst das mit einem Ereignisbaum machen.
Oder du kannst auch einfach den klaren Menschenverstand gebrauchen.

Lass dich nicht verwirren. Die Aussage
"Die Wahrscheinlichkeit(,) dass

[...]

ein Neugeborenes ein Junge ist,

[

beträgt] 51%."
scheint dich nur zu verwirren.
Lass diese Aussage doch einfach mal weg. Sie ist wertlos. Sie nützt dir nichts, weil für deine Aufgabe bereits bekannt ist, dass der erste (Zwilling) ein Junge ist.

Also ist nur noch die Aussage
"Die Wahrscheinlichkeit(,) dass Zwillinge das gleiche Geschlecht haben, beträgt 64%"
relevant, und beantwortet direkt deine Aufgabe bzw. Frage.

Analina aktiv_icon

21:35 Uhr, 07.05.2017

Hm ich glaube nicht dass das so gemeint ist. Wenn

64 %

das gleiche Geschlecht haben und mit

51 %

ein Neugeborenes ein Junge ist, dann sind doch ca

34 %

der Zwillinge beide Männlich und

30 %

Weiblich, Rest eben einmal

M

und einmal

W

tobit aktiv_icon

21:37 Uhr, 07.05.2017

Hallo zusammen!

Die Skepsis von Analina ist berechtigt.

Ich komme unter gewissen Annahmen auf ein Ergebnis von ca. 64,7%.

Ich schreibe dazu gleich eine ausführlichere Antwort.

Viele Grüße
Tobias

tobit aktiv_icon

22:25 Uhr, 07.05.2017

Da man bei bedingten Wahrscheinlichkeiten sehr schnell zu Fehlschlüssen neigen kann, möchte ich sicherheitshalber zunächst die Situation der Aufgabenstellung klären: Verstehe ich sie folgendermaßen richtig?

Mit "der erste ein Junge" ist gemeint, dass der zuerst geborene der beiden Zwillinge ein Junge ist?
Es sind nämlich viele ähnliche Bedingungen denkbar, die teilweise zu anderen Ergebnissen führen können (z.B. "mindestens einer der beiden ist ein Junge" oder "beim ersten Besuch der Oma bei den neugeborenen Zwillingen sieht sie zuerst einen neugeborenen Jungen").

Sei A das Ereignis, dass der erstgeborene Zwilling ein Junge ist und B das Ereignis, dass der zweitgeborene Zwilling ein Junge ist.

Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit

P (B ∣ A)

.

Das Ereignis, dass die beiden Zwillinge das gleiche Geschlecht haben, ist somit gegeben durch

(A \cap B) \cup (A^{c} \cap B^{c})

.
Dieses Ereignis soll also Wahrscheinlichkeit 0,64 haben, d.h. wir nehmen

P ((A \cap B) \cup (A^{c} \cap B^{c})) = 0, 64

an.

(Ich sehe keinen Grund zu kreadoors Annahme, dass auch

P (B ∣ A) = 0, 64

gelten soll.)

Nun die Frage, was wir mit den 0,51 Anteil Jungen unter allen Neugeborenen anfangen können.
Eigentlich gar nichts!
Diese Angabe macht schließlich keine Aussage über die "Geschlechterverteilung" unter Zwillingen, sondern nur unter allen Neugeborenen.
Es wäre z.B. unter den gegebenen Angaben durchaus denkbar, dass der erstgeborene Zwilling immer ein Junge ist und der zweitgeborene Zwilling zu 64% ein Junge und zu 36% ein Mädchen ist (auch wenn dies in der Realität "erfahrungsgemäß" nicht so ist, aber das war ja auch nur ein extremes Beispiel; es ließen sich sicherlich realistischere mit den Angaben kompatible Situationen konstruieren).

Selbst wenn wir annehmen, dass unter allen Zwillingen der Anteil der Jungen 0,51 beträgt, können wir nicht ohne weitere Annahmen schlussfolgern, dass auch der Anteil der Jungen unter den erstgeborenen Zwillingen 0,51 beträgt.
Es wäre z.B. denkbar, dass bei Zwillingen unterschiedlichen Geschlechts stets der Junge der zuerst zur Welt kommt (wieder ließen sich sicherlich realistischere zu den Angaben kompatible Situationen konstruieren).

Um überhaupt sinnvoll rechnen zu können, treffe ich nun die (eigentlich fraglichen) Annahmen, dass unter den zuerst geborenen Zwillingen der Anteil der Jungen 0,51 beträgt, also

P (A) = 0, 51

gilt, und eine entsprechende Annahme über die "zweitgeborenen" Zwillinge, also

P (B) = 0, 51

.

Unter diesen Annahmen lässt sich die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit

P (B ∣ A)

\frac{33}{51}

berechnen, was ca. 64,7% entspricht.

Um auf eine Lösungsidee zu kommen, habe ich mit einer Vierfeldertafel gearbeitet.
Auch wenn sie natürlich keinen mathematischen Beweis ersetzen kann, hilft sie bei der Lösungsfindung.

Kommst du mit der vorliegenden Modellierung und meinem Vierfeldertafel-Vorschlag schon selbst weiter oder soll ich mehr Hinweise posten?

Vielleicht kannst du die gesamte Aufgabenstellung posten?
Möglicherweise gehen daraus Informationen über die zu treffenden Annahmen hervor.

anonymous

23:26 Uhr, 07.05.2017

Hallo
Ich hoffe, wir haben alle die stichwortartige Aufgabenstellung richtig verstanden.
In meinen Worten:
Wir wissen, dass eine Zwillingsschwangerschaft vorliegt.
Das erste Kind ist schon geboren. Wir wissen und sehen: dieses erste ist männlich.
Über das zweite Kind wissen wir noch nichts, außer eben statistische Wahrscheinlichkeiten über Zwillinge im allgemeinen.
Analina, bitte Bestätigung, Berichtigung, Kommentar...

Wir scheinen uns auch weitgehend einig zu sein, dass die Zusatzinformation
"Die Wahrscheinlichkeit(,) dass

[...]

ein Neugeborenes ein Junge ist,

[

beträgt] 51%."
nur dann im mathematisch exakten Sinne von Wert ist, wenn wir auch in irgend einer Weise wissen, wie die Verteilung Einzelgeburten/Zwillingsgeburten an allen Geburten ist.
Sonst haben wir schlichtweg zu viele Unbekannte bei zu wenig Informationen/Gleichungen.

tobit aktiv_icon

23:48 Uhr, 07.05.2017

" Analina, bitte Bestätigung, Berichtigung, Kommentar... "

Dem schließe ich mich an.

" Wir scheinen uns auch weitgehend einig zu sein, dass die Zusatzinformation
"Die Wahrscheinlichkeit(,) dass [...] ein Neugeborenes ein Junge ist, [beträgt] 51%."
nur dann im mathematisch exakten Sinne von Wert ist, wenn wir auch in irgend einer Weise wissen, wie die Verteilung Einzelgeburten/Zwillingsgeburten an allen Geburten ist.
Sonst haben wir schlichtweg zu viele Unbekannte bei zu wenig Informationen/Gleichungen. "

Wir sind uns einig, dass diese Angabe von 51% ohne weitere Angaben oder Annahmen nicht weiterhilft.

Ein Beispiel für zwei solche Annahmen (unter zuerst geborenen Zwillingen sind 51% Jungen und unter den als zweites geborenen Zwillingen sind 51% Jungen) habe ich genannt.
Ich vermute, dass der/die Aufgabensteller(in) von diesen Annahmen ausgeht.

(Wenn wir hingegen z.B. die Information erhielten, dass 1% aller Geburten Zwillingsgeburten wären, würde uns das ohne weitere Angaben wohl auch nicht weiterhelfen. Oder übersehe ich etwas?)

Jlmmy aktiv_icon

19:16 Uhr, 11.05.2017

Es gibt vier disjunkte Ereignisse JJ, JM, MJ und MM für Zwillinge, deren Gesamtwahrscheinlichkeit gleich 1 ist. Wir wissen:

P(JJ)+P(JM)+P(MJ)+P(MM)P(JJ)+P(MM)P(JJ)+P(JM)P(JJ)+P(MJ)=1=0.64=0.51=0.51

Die letzten beiden Gleichungen entstammen der Info, dass ein Neugeborenes mit 51% Wahrscheinlichkeit ein Junge ist - das trifft dann auch auf den erstgeborenen sowie auch den zweitgeborenen Zwilling zu. Augenzwinkern

Dieses Gleichungssystem kann man lösen, und die Ergebnisse für die eigentlich gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit

P(xJ∣Jx)=P(JJ)P(JJ)+P(JM)

berechnen (x steht hier für ein beliebiges Geschlecht).

Viele Grüße

Jlmmy aktiv_icon

19:16 Uhr, 11.05.2017

Sorry hab nicht nochmal gecheckt ob alles richtig ist
P(JJ)+P(JM)+P(MJ)+P(MM)=1
P(JJ)+P(MM)=0.64
P(JJ)+P(JM)= 0.51
P(JJ)+P(MJ)=0.51

P(xJ|Jx)=P(JJ)/(P(JJ)+P(JM))

tobit aktiv_icon

19:48 Uhr, 11.05.2017

Hallo Jimmy!

Danke für deinen Beitrag.

Deine Vorgehensweise entspricht im Wesentlichen auch meiner.

Wir beide lösen die Aufgabe jeweils unter der Annahme, dass erstgeborene und zweitgeborene Zwillinge jeweils mit 51% Wahrscheinlichkeit Jungen sind.
Wie gesagt vermute ich, dass der/die Aufgabensteller(in) das auch so haben wollte.
Diese Annahmen gehen aber nicht aus der Darstellung der Aufgabenstellung im Ausgangspost dieses Threads hervor:

" Die letzten beiden Gleichungen entstammen der Info, dass ein Neugeborenes mit 51% Wahrscheinlichkeit ein Junge ist - das trifft dann auch auf den erstgeborenen sowie auch den zweitgeborenen Zwilling zu. Augenzwinkern "

Hier liegt ein Fehlschluss vor (dem möglicherweise eben auch der/die Aufgabensteller(in) unterliegt).

Dazu mal ein Beispiel:
Angenommen 2% irgendeiner Bevölkerung lebt in einem Altenheim. Dann kann ich nicht schlussfolgern, dass diese 2% auf alle Bevölkerungsgruppen zutreffen. Z.B. unter den über 80-Jährigen wird der Anteil der Altenheimbewohner wesentlich höher sein als diese 2%.

Genauso wenig bedeutet "51% Jungen unter allen Neugeborenen" zwangsläufig, dass auch unter den erstgeborenen und unter den zweitgeborenen Zwillingen jeweils 51% Jungen sind!

Ob diese Annahmen "51% Jungen unter den erstgeborenen Zwillingen" und "51% Jungen unter den zweitgeborenen Zwillingen" aus medizinischer Sicht in der Realität gerechtfertigt sind, kann ich nicht beurteilen.
Aus rein stochastischer Sicht sind sie nicht zwangsläufig.

Viele Grüße
Tobias

Jlmmy aktiv_icon

20:00 Uhr, 11.05.2017

Das kann gut sein.
Analina ich würde dann doch den Aufgabensteller fragen, ob er dir diese zusätzlichen Daten gibt - aus den gegebenen gehen sie jedenfalls nicht hervor.
Von den gegebenen Informationen habe ich also den pragmatischen Weg gewählt.

tobit aktiv_icon

20:05 Uhr, 11.05.2017

Ja, ich halte es auch für am Sinnvollsten, den/die Aufgabensteller(in) zu fragen, ob man diese Annahmen treffen soll.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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