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Bedingungen für Invertierbarkeit von Polynomen

Universität / Fachhochschule

Körper

Polynome

Primzahlen

Tags: Körper, polynom, Primzahl

student11 aktiv_icon

13:57 Uhr, 03.12.2011

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Sei

F

ein endlicher Körper und

n > 1

eine natürliche Zahl. Finden Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Koeffizienten von

a (x),

damit

a (x) \in F [x] x^{n}

invertierbar ist.

Naja, ich habe mir überlegt, dass

a (x)

maximal Grad

n - 1

haben kann. Damit

a (x)

invertierbar sein kann, dürfen auch nicht alle Koeffizienten null sein, und auch nicht alle bis auf den zweitletzten, denn auch ein konstantes Polynom ist nicht invertiertbar ( man müsste es mit einem Polynom des Grades

n

multiplizieren, diese stehen in diesem Ring aber gar nicht zur Verfügung).

Ich habe auf Wikipedia etwas zu Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein gelesen, da geht es darum, dass

p

nicht an teilen darf und

p

ai teilen muss und

p^{2}

nicht

a 0

teilen darf..

Ich nehme an, das wäre die gesuchte Antwort auf die Frage.. Aber wieso?
Wäre dankbar für Ansätze.. Ich kann damit wenig anfangen.. leider..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

hagman aktiv_icon

15:56 Uhr, 03.12.2011

Schreibweise unklar. Was ist mit

F [x] x^{n}

gemeint?

student11 aktiv_icon

16:08 Uhr, 03.12.2011

Sorry.. Ich hab das Schreiben von Formeln noch nicht ganz im Griff.

Damit ist der Ring gemeint, den man erhält, wenn man den Körper aller Polynome über

x

betrachtet und diesen modulo

x^{n}

rechnet, also die Restklasse.

Also eigentlich die Polynomen die Grad kleiner als

n

haben.

Ist das so verständlich? Ich hoffe es..

sirseth aktiv_icon

17:06 Uhr, 03.12.2011

Es handelt sich offenbar um die Übung Diskr. Math

11.3 d)

;-)
Bei mir klemmts nämlich an genau der selben Stelle wie bei dir.
Unser Assistent hat uns noch als Tipp gesagt, wir sollen

a (x)

als

a_{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} \cdot x^{i})

schreiben und uns dann überlegen, was für einen Einfluss

a_{0}

hat. Bisher bin ich aber damit auch noch nicht weitergekommen...

student11 aktiv_icon

17:11 Uhr, 03.12.2011

also den Einfluss von

a 0

kenn ich (glaube ich zumindest).

wenn du ein Polynom

a (x)

mit

a 0 = 0

hast, kannst du

x

ausklammern. Dieses Polynom ist dann nicht mehr irreduzibel. Du kannst es dann immer schreiben als
x*(an*x^(n-1)+an-1*x^(n-2)+...+a1)..

Nun, ich glaube aber nicht, dass diese Bedingung hinreichend ist.. :-)

sirseth aktiv_icon

17:21 Uhr, 03.12.2011

Ich bin soeben auf das da gestossen: wiki.vis.ethz.ch/L%C3%B6sungsvorschlag_Diskrete_Mathematik_Herbst_2006
Die Aufgabe

7.4

ist genau diese Aufgabe ;-)
Dort wird es ziemlich schön erklärt. Falls

a_{0} = 0,

kann man

a (x)

schreiben als

a (x) = p (x) \cdot x

. Damit ist dann aber

a (x) \cdot x^{n - 1} = p (x) \cdot x \cdot x^{n - 1} = p (x) \cdot x^{n} = p (x) \cdot 0 = 0

. Also wäre

a (x)

per Definition Nullteiler, die aber niemals invertierbar sein können (das müsste man noch zeigen, nicht sehr schwierig). Das war zu "notwendig", jetzt muss man noch zeigen, dass die Bedingung

a_{0} \neq 0

hinreichend für die Existenz eines Inversen von

a (x)

ist.

a_{0} \neq 0 \Leftrightarrow a (x)

nicht teilbar durch

x \Leftrightarrow gcd (a (x), x^{n}) = 1

Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus kann man

u (x)

und

v (x)

berechnen, so dass

u (x) \cdot x^{n} + v (x) \cdot a (x) = 1

. Da man modulo

x^{n}

rechnet, fällt dann der erste Teil weg und man erhält

v (x) \cdot a (x) = 1

(modulo

x^{n})

womit man das Inverse für

a (x)

gefunden hat

(\to v (x))

student11 aktiv_icon

17:43 Uhr, 03.12.2011

vielen dank :-)
dann wäre das auch gelöst.. :-)
konntest du die anderen aufgaben denn?
hatte irgendwie mühe mit den ggT,...

http//www.onlinemathe.de/forum/ggT-Nullteiler-von-Polynomen-in-Restklassen

Vielleicht findest du da auch eine Lösung ;-)

sirseth aktiv_icon

15:40 Uhr, 04.12.2011

Ja mit den anderen Aufgaben hatte ich keine grösseren Probleme. Und sonst helfen wie immer auch noch wikipedia und google :-)

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