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Bedingungen für lineare Unabhängigkeit

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Vektorräume

Tags: Lineare Abhängigkeit, Lineare Unabhängigkeit, Vektor

bkshd aktiv_icon

19:03 Uhr, 12.02.2016

Hallo,

die Aufgabe lautet:
"Seien

s, t

beliebige Parameter. Unter welcher Bedinung sind die Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} s \\ t \\ 0 \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} 0 \\ s \\ t \end{matrix}), \vec{c} = (\begin{matrix} t \\ 0 \\ s \end{matrix})

linear unabhängig?"

Wird dies über ein Gleichungssystem gelöst?

s + 0 + t = 0

0 + s + t = 0

t + 0 + s = 0

Dann bekomme ich überall

s = - t

bzw.

t = - s

heraus, aber was sagt mir das?
Ich habe bei Aufgaben zum Thema Lineare Abh./Unabh. Lösungen mit Gleichungssystemen gesehen, die mittels Gauß-Algorithmus gelöst wurden, dann Rechnungen mit Determinanten, und und und... Woher weiß ich bei diesem Typ Aufgabe, was zu tun ist?

- Wenn zwei Vektoren in einer Ebene linear abhängig sind, dann sind sie parallel.
- Mehr als zwei Vektoren in der Ebene sind immer linear abhängig. (Das ergibt doch überhaupt keinen Sinn, denn dann wären doch drei zweidimensionale Vektoren immer parallel?!)
- Wenn zwei Vektoren im Raum linear abhängig sind, dann sind sie parallel.
- Wenn drei Vektoren im Raum linear abhängig sind, dann sind sie komplanar.
- Mehr als drei Vektoren im Raum sind immer linear abhängig.

Das ist, was ich hier und da lesen konnte, aber eigentlich verwirrt es mich nur und beim Lösen der Aufgabe hilft schon gar nicht.

Für Hinweise und aufklärende Ratschläge wäre ich äußerst dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Roman-22

19:21 Uhr, 12.02.2016

Deine Methode ist untauglich, auch wenn du mit ihr bei deinem Beispiel damit auf die richtige Lösung kommst (ohne es zu erkennen).
Du hast doch die drei Vektoren addiert und das Ergebnis dem Nullvektor gleichgesetzt. Du hast erhalten, dass das dann der Fall ist, wenn

t \cdot - s

gilt.
Natürlich sind drei Vektoren linear abhängig, wenn ihre Summe der Nullvektor ist und daher darf eben

t = - s

nicht gelten, wenn die Vektoren

l . u

. sein sollen.

Aber nicht immer (eher relativ selten) ist die Summe dreier linear abhängiger Vektoren der Nullvektor - das kann auch alles mögliche sein.

Besser du berechnest die Determinante, deren Spalten aus den drei Vektoren besteht. Was muss für diese Determinante gelten, damit die drei vektoren

l . u

. sind?

> -

Mehr als zwei Vektoren in der Ebene sind immer linear abhängig. (Das ergibt doch überhaupt keinen Sinn, denn dann wären doch drei zweidimensionale Vektoren immer parallel?!)
Nein! Je zwei dieser drei Vektoren können

l . u

. sein, aber der dritte lässt sich trotzdem immer (im

ℝ^{2})

als Linearkombination der anderen beiden darstellen.

Wenn

n

Vektoren

(\in

welchem Raum auch immer) linear abhängig sind, dann bedeutet das, dass mind. einer der Vektoren eine Linearkombination aus den anderen

n - 1

Vektoren ist.
Wenn also nur zwei Vektoren (wo auch immer) linear abhängig sind, dann ist eben einer ein Vielfaches des anderen. Also sind sie parallel.

R

bkshd aktiv_icon

20:11 Uhr, 12.02.2016

Zunächst einmal Danke für die rasche und ausführliche Antwort. Einige Dinge sind mir jetzt klarer.
Lineare Abhängigkeit besteht, wenn die Determinante

D = 0

ist.

(\begin{matrix} s & 0 & t \\ t & s & 0 \\ 0 & t & s \end{matrix})

D = s^{3} + 0 + t^{3} - 0 - 0 - 0

D = s^{3} + t^{3}

Da bei linearer Abhängigkeit die Determinante Null wird:

D = s^{3} + t^{3} = 0

s^{3} = - t^{3}

\Rightarrow s = \sqrt[3]{- t^{3}} = - t

bzw.

\Rightarrow t = - s

Da also für zum Beispiel

s = - t

lineare Abhängigkeit bestünde, wäre der Fall (also die in der Aufgabenstellung gefragt Bedingung) für lineare UNabhängigkeit genau das NICHT, also:

s \neq - t

Ist das so korrekt?

Ansonsten nur noch eine Frage:
Die Aussage "Mehr als zwei Vektoren im

ℝ^{2}

sind immer linear abhängig." umfasst sowohl die Möglichkeit, dass die Vektoren untereinander paarweise alle linear abhängig sind, als auch die Möglichkeit, dass sie untereinander paarweise NICHT linear abhängig sind?
Dann ist die Aussage aber ganz schön irreführend und sollte doch eher heißen "Bei mehr als zwei Vektoren im

ℝ^{2}

lässt sich immer ein Vektor als Linearkombination der anderen darstellen.", oder nicht?
Danke nochmal für die Hilfe.

ledum aktiv_icon

22:39 Uhr, 12.02.2016

Hallo
der erste Teil ist korrekt. den zweiten Teil verstehe ich nicht ganz natürlich heisst

3 v

sim

R^{2}

sind immer lin abhängig, dass sie auch paarweise abhängig sind. dein zweiter Satz ist auch richtig, aber ich finde er sagt nichts anderes.
denn bei deiner 2 ten aussage gibt es ja auch die Möglichkeit einen als vielfachen des anderen darzustellen, oder nur die echte Linearkombination von 2 en ergibt den dritten.
aber wenn dir der zweite Satz lieber ist merk dir den.
allgemein ist aber die entsprechende aussage in einem

n

Dimensionen raum sind

n + 1

Vektoren immer lin abhängig. den du wieder auf deine Weise umformulieren kannst
Gruß ledum

Roman-22

03:47 Uhr, 13.02.2016

>

sollte doch eher heißen "Bei mehr als zwei Vektoren im ℝ2 lässt sich immer ein Vektor als Linearkombination der anderen darstellen.", oder nicht?
Nein!
Beispiel:

\vec{a} := (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), \vec{b} := (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}), \vec{c} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

Diese drei Vektoren sind zweifelsohne nicht

l . u .,

aber deswegen lässt sich

\vec{c}

aber trotzdem nicht als Linearkombi von

\vec{a}

und

\vec{b}

darstellen. Das liegt daran, dass auch

\vec{a}

und

\vec{b}

allein schon

l . a

. sind und daher keine Basis des

ℝ^{2}

bilden.

Anders die drei Vektoren

\vec{a} := (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), \vec{b} := (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}), \vec{c} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

Diese sind klarerweise auch

l . a .,

aber je zwei von ihnen sind voneinander

l . u

. Hier gilt dann sehr wohl, dass jeder drei Vektoren als Linearkombi der anderen beiden dargestellt werden kann.

Es ist NICHT Voraussetzung für lineare Abhängigkeit, dass JEDER der betrachteten Vektoren als Linearkombination aus den anderen dargestellt werden kann. Es genügt, wenn das bei einem einzigen der Vektoren möglich ist. Deshalb habe ich in der vorherigen Antwort auch die Formulierung "mind. einer" gewählt.
Im ersten Beispiel ist etwa

\vec{b} = 3 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{c}

R

bkshd aktiv_icon

13:00 Uhr, 13.02.2016

Da bin ich ja froh, nochmal gefragt zu haben.
Danke für diese Erklärung.
Beim letzten Abschnitt hat's dann Klick gemacht, diesen Teil habe ich bei Ihrem ersten Eintrag wohl nicht mehr ganz aufgenommen.
Vielen Dank nochmals!

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