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Begleitmatrix

Universität / Fachhochschule

Tags: Begleitmatrix, Matrix

 
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Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

07:48 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Hallo,
wie kommt es zustande, dass aus dem unterstrichenen Teil diese Gestalt der Begleitmatrix folgt:
Wenn ich z.b für n=2 berechne:
f2(u)=0f0(u)+0f1(u)+1f2(u).....
Aber das stimmt ja nicht.
Wo liegt mein Fehler?

2018-07-11 07.42.09

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

11:07 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Hallo Anes1710,
da hast du wohl grundsätzlich die Formel falsch interpretiert.
Bleiben wir bei deinem Beispiel n=2.
Dann hast du wegen der f-Zyklizität mit einem "erzeugenden Vektor" u die Basis
X={u,f(u)}.
Wegen f2(u)V muss sich f2(u) als Linearkombination der Basiselemente
u,f(u) schreiben lassen, d.h. es gibt Skalare -c0,-c1K mit
f2(u)=-c0u-c1f(u).

Hierzu ein konkretes Beispiel:
f werde bzgl. der Standardbasis durch die Matrix A:=(2102) beschrieben.
Dann ist u=(01) ein Vektor mit f(u)=(12).
X={u,f(u)} ist eine Basis von V=K2.
Man bekommt
f2(u)=(2102)(12)=(44)=-4u+4f(u).

Die Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basis X ist (0-414).

Das ist die Begleitmatrix des Minimalpolynoms von f:
pf=(T-2)2.

Gruß ermanus
Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

11:47 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Ist deine Vorgabe für u=e2 beliebig oder steckt da was dahinter?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

11:51 Uhr, 11.07.2018

Antworten
u=e1 würde nicht funktionieren, da e1 ein Eigenvektor von f ist,
dann probiere ich doch mal u=e2, ob's damit besser geht ;-)
(im Übrigen steckt natürlich auch Erfahrung und Intuition dahinter).

Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

12:02 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Warum würde denn bei einem EV das nicht funktionieren?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:06 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Weil dann u und f(u) linear abhängig sind, also keine Basis bilden können.
Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

12:25 Uhr, 11.07.2018

Antworten
u ist dann der Erzeuger des VR, weil V isomorph zu einem monogenen Quotientenraum ist oder?

Da f zyklisch, d.h ich erhalte mit der i-fachen Komposition von f angewandt auf u eine Basis für i=0,...,n-1, wobei die Bilder wieder in V liegen.
Wie bekomme ich jetzt meine 1. Spalte der Begleitmatrix.
Das ist ja der Vektor e2.
Ich muss ja dann f(u) in der Basis fi(u) darstellen. Dabei bilden die Koeffizienten meine Spalte.
Dann ist f(u)=0f0(u)+1f1(u)+....
oder?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:12 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Da hast du Recht.
Was so ein u anbetrifft, würde ich an deiner Stelle noch ein bisschen
warten, bis die Vorlesung/das Skript die (Jordansche) Normalformentheorie
voll entwickelt hat. Die Begleitmatrix von f kannst du aber bereits
jetzt "ohne Schwierigkeiten" angeben, indem du das Minimalpolynom von
f konkret bestimmst.
Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

13:27 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Aber wie kriege ich denn ohne das u die Gestalt meiner Matrix raus in dem Beweis?
Das Minimalpoylnom stimmt doch in diesem Fall mit dem charakteritischen überien, d.h ich muss einfach nur dieses ausrechen und dann auf die Diagonale schreiben?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:54 Uhr, 11.07.2018

Antworten
In der angestrichenen Gleichung steht doch geradezu
fn=-c0id-c1f--cn-1fn-1=0,
d.h. p(f)=0 für p=xn+cn-1xn-1++c1x+c0.
Da p den Grad n hat, ist es das Minimalpolynom.
Dessen Begleitmatrix ist ja oben im Skript angegeben.

Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

14:05 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Aber zur Berechnung des Minimalpolynoms kann ich doch das charakteristische berechnen und dann meine Begleitmatrix aufstellen.
In deinem Beispiel ist es ja χA(x)=(x-2)2=x2-4x+4,
wobei c0=4 und c1=-4 in der letzten Spalte stehen.
Das Finden von einem monogenen u ist Ausprobieren oder hast du ein System?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:12 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Ich habe einfach ausprobiert :(
Dennoch kann man mit Hilfe der Theorie der
Zerlegung eines Endomorphismus in einen diagonalisierbaren
und einen nilpotenten Teil das Ganze wohl systematischer
hinkriegen (Jordansche Normalform).
Hier spielt der Begriff der Haupträume dann eine Rolle.
Das kann ich aber hier nicht alles erklären. Da musst du mit der
Vorlesung bzw. dem Buch Geduld haben ...
oder selbst weiterforschen ;-)
Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

14:14 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Ok danke:-)
Aber das mit dem charakteristischen Polynom und der Begleitmatrix war ok?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:56 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Ja; denn im f-zyklischen Fall sind Minimalpolynom und
charakteristisches Polynom dasselbe.

Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

18:52 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Perfekt dankeschön:-)
Ich hätte noch eine Frage zu folgendem

2018-07-11 18.50.27
Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

19:00 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Es geht mir dabei um den Index:

Was bezeichnen jeweils diese i und j:

i=1,...r bezieht sich jeweils auf das Primpolynom pi:
Ist dann j die jeweilige Vielfachheit von diesem?
Also z.b(x-1)2=pi
Dann ist n(i,ji)=2

Wäre das so richtig interpretiert?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:58 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Eher so:
ist pi=(x-1), dann kann z.B. Vi,1,Vi,2 dazu gehören mit
pi2=(x-1)2 zu Vi,1 und pi3=(x-1)3 zu Vi,2 gehörig,
also n(i,1)=2 und n(i,2)=3.
Ich mache dir dazu später noch ein Beispiel ...

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

00:06 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Wir betrachten den Endomorphismus f, der bzgl. der Standardbasis
durch die folgende Matrix beschrieben wird:

(1000001100001000002100002)

Das charakteristische Polynom ist (T-1)3(T-2)2.

Es sind also p1=T-1 und p2=T-2.

Die f-invarianten Unteräume sind

V11=span((1,0,0,0,0)T) mit p11=(T-1)1, also n(1,1)=1,
V12=span((0,0,1,0,0)T,(0,1,1,0,0)T) mit p12=(T-1)2, also n(1,2)=2,
V21=span((0,0,0,0,1)T,(0,0,0,1,2)T) mit p22=(T-2)2, also n(2,1)=2.

Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

10:35 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Aha jetzt verstehe ich das:-)
Dann bezeichnet der Doppelindex si den höchsten Grad des jeweiligen Polynoms pi

Man sieht doch auch, dass das Minimalpolynom das kgV der pi ist, also entpricht es in dem Beispiel gerade dem charakteristischen.

Es steht dann noch:

Vi=j=1siVij in der Sprache der K[T]- Moduln der Untermodul der pi- Torsion und der freie Anteil entfällt, da V ein K[T] Torsionsmodul ist.
Warum entfällt das:
Also K[T] Torsionsmodul bedeutet ja, dass es ein rK[T] und r0 gibt ,s.d mit vV gilt: rv=0
Ein solches r wäre doch das Minimalpolynom von dem Endomorphismus V also r=pf
Reicht das dann schon?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:59 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Ja, letzteres reicht.
Was das Minimalpolynom anbetrifft, hast du einen Fehler gemacht:

Es ist das Minimalpolynom = kgV((T-1)1,(T-1)2,(T-2)2)=(T-1)2(T-2)2,
also ein echter Teiler des charakteristischen Polynoms.

Frage beantwortet
Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

18:34 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Ja du hast Recht.
Herzlichen Dank für deine Hilfe ermanus:-)
Du bist eim toller Helfer:-)
Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

08:20 Uhr, 13.07.2018

Antworten
Ich habe doch noch eine Frage zu
der Rückrichtung: X=(x1,..,xn) sei Basis von V,s.dAf,X,X die Begleitmatrix zu einem normierten Polynom pK[T] vom Grad n ist.
Wieso folgt mit der Setzung u=x1, dass xi=fi-1(u) und dann, dass Vf zyklisch ist?
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