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Begleitmatrix

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Tags: Begleitmatrix, Matrix

Anes1710 aktiv_icon

07:48 Uhr, 11.07.2018

Hallo,
wie kommt es zustande, dass aus dem unterstrichenen Teil diese Gestalt der Begleitmatrix folgt:
Wenn ich

z . b

für

n = 2

berechne:

f^{2} (u) = 0 \cdot f^{0} (u) + 0 \cdot f^{1} (u) + 1 \cdot f^{2} (u) ... .

.
Aber das stimmt ja nicht.
Wo liegt mein Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

ermanus aktiv_icon

11:07 Uhr, 11.07.2018

Hallo Anes1710,
da hast du wohl grundsätzlich die Formel falsch interpretiert.
Bleiben wir bei deinem Beispiel

n = 2

.
Dann hast du wegen der

f

-Zyklizität mit einem "erzeugenden Vektor"

u

die Basis

X = {u, f (u)}

.
Wegen

f^{2} (u) \in V

muss sich

f^{2} (u)

als Linearkombination der Basiselemente

u, f (u)

schreiben lassen, d.h. es gibt Skalare

- c_{0}, - c_{1} \in K

mit

f^{2} (u) = - c_{0} u - c_{1} f (u)

.

Hierzu ein konkretes Beispiel:

f

werde bzgl. der Standardbasis durch die Matrix

A := (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array})

beschrieben.
Dann ist

u = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array})

ein Vektor mit

f (u) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array})

X = {u, f (u)}

ist eine Basis von

V = K^{2}

.
Man bekommt

f^{2} (u) = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array}) = - 4 \cdot u + 4 \cdot f (u)

.

Die Darstellungsmatrix von

f

bzgl. der Basis

X

ist

(\begin{array}{cc} 0 & - 4 \\ 1 & 4 \end{array})

.

Das ist die Begleitmatrix des Minimalpolynoms von

f

p_{f} = (T - 2)^{2}

.

Gruß ermanus

Anes1710 aktiv_icon

11:47 Uhr, 11.07.2018

Ist deine Vorgabe für

u = e_{2}

beliebig oder steckt da was dahinter?

ermanus aktiv_icon

11:51 Uhr, 11.07.2018

u = e_{1}

würde nicht funktionieren, da

e_{1}

ein Eigenvektor von

f

ist,
dann probiere ich doch mal

u = e_{2}

, ob's damit besser geht ;-)
(im Übrigen steckt natürlich auch Erfahrung und Intuition dahinter).

Anes1710 aktiv_icon

12:02 Uhr, 11.07.2018

Warum würde denn bei einem EV das nicht funktionieren?

ermanus aktiv_icon

12:06 Uhr, 11.07.2018

Weil dann

u

und

f (u)

linear abhängig sind, also keine Basis bilden können.

Anes1710 aktiv_icon

12:25 Uhr, 11.07.2018

u

ist dann der Erzeuger des VR, weil

V

isomorph zu einem monogenen Quotientenraum ist oder?

Da

f

zyklisch,

d . h

ich erhalte mit der i-fachen Komposition von

f

angewandt auf

u

eine Basis für

i = 0, ..., n - 1,

wobei die Bilder wieder in

V

liegen.
Wie bekomme ich jetzt meine 1. Spalte der Begleitmatrix.
Das ist ja der Vektor

e_{2}

.
Ich muss ja dann

f (u)

in der Basis

f^{i} (u)

darstellen. Dabei bilden die Koeffizienten meine Spalte.
Dann ist

f (u) = 0 \cdot f^{0} (u) + 1 \cdot f^{1} (u) + ...

.
oder?

ermanus aktiv_icon

13:12 Uhr, 11.07.2018

Da hast du Recht.
Was so ein

u

anbetrifft, würde ich an deiner Stelle noch ein bisschen
warten, bis die Vorlesung/das Skript die (Jordansche) Normalformentheorie
voll entwickelt hat. Die Begleitmatrix von

f

kannst du aber bereits
jetzt "ohne Schwierigkeiten" angeben, indem du das Minimalpolynom von

f

konkret bestimmst.

Anes1710 aktiv_icon

13:27 Uhr, 11.07.2018

Aber wie kriege ich denn ohne das

u

die Gestalt meiner Matrix raus in dem Beweis?
Das Minimalpoylnom stimmt doch in diesem Fall mit dem charakteritischen überien,

d . h

ich muss einfach nur dieses ausrechen und dann auf die Diagonale schreiben?

ermanus aktiv_icon

13:54 Uhr, 11.07.2018

In der angestrichenen Gleichung steht doch geradezu

f^{n} = - c_{0} \cdot i d - c_{1} f - \dots - c_{n - 1} \cdot f^{n - 1} = 0

,
d.h.

p (f) = 0

für

p = x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0}

.
Da

p

den Grad

n

hat, ist es das Minimalpolynom.
Dessen Begleitmatrix ist ja oben im Skript angegeben.

Anes1710 aktiv_icon

14:05 Uhr, 11.07.2018

Aber zur Berechnung des Minimalpolynoms kann ich doch das charakteristische berechnen und dann meine Begleitmatrix aufstellen.
In deinem Beispiel ist es ja

χ_{A} (x) = {(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4 x + 4,

wobei

c_{0} = 4

und

c_{1} = - 4

in der letzten Spalte stehen.
Das Finden von einem monogenen

u

ist Ausprobieren oder hast du ein System?

ermanus aktiv_icon

14:12 Uhr, 11.07.2018

Ich habe einfach ausprobiert :(
Dennoch kann man mit Hilfe der Theorie der
Zerlegung eines Endomorphismus in einen diagonalisierbaren
und einen nilpotenten Teil das Ganze wohl systematischer
hinkriegen (Jordansche Normalform).
Hier spielt der Begriff der Haupträume dann eine Rolle.
Das kann ich aber hier nicht alles erklären. Da musst du mit der
Vorlesung bzw. dem Buch Geduld haben ...
oder selbst weiterforschen ;-)

Anes1710 aktiv_icon

14:14 Uhr, 11.07.2018

Ok danke:-)
Aber das mit dem charakteristischen Polynom und der Begleitmatrix war ok?

ermanus aktiv_icon

14:56 Uhr, 11.07.2018

Ja; denn im

f

-zyklischen Fall sind Minimalpolynom und
charakteristisches Polynom dasselbe.

Anes1710 aktiv_icon

18:52 Uhr, 11.07.2018

Perfekt dankeschön:-)
Ich hätte noch eine Frage zu folgendem

Anes1710 aktiv_icon

19:00 Uhr, 11.07.2018

Es geht mir dabei um den Index:

Was bezeichnen jeweils diese

i

und

j :

i = 1, ... r

bezieht sich jeweils auf das Primpolynom

p_{i} :

Ist dann

j

die jeweilige Vielfachheit von diesem?
Also

z . b {(x - 1)}^{2} = p_{i}

Dann ist

n (i, j_{i}) = 2

Wäre das so richtig interpretiert?

ermanus aktiv_icon

22:58 Uhr, 11.07.2018

Eher so:
ist

p_{i} = (x - 1)

, dann kann z.B.

V_{i, 1}, V_{i, 2}

dazu gehören mit

p_{i}^{2} = (x - 1)^{2}

V_{i, 1}

und

p_{i}^{3} = (x - 1)^{3}

V_{i, 2}

gehörig,
also

n (i, 1) = 2

und

n (i, 2) = 3

.
Ich mache dir dazu später noch ein Beispiel ...

ermanus aktiv_icon

00:06 Uhr, 12.07.2018

Wir betrachten den Endomorphismus

f

, der bzgl. der Standardbasis
durch die folgende Matrix beschrieben wird:

(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array})

Das charakteristische Polynom ist

(T - 1)^{3} (T - 2)^{2}

.

Es sind also

p_{1} = T - 1

und

p_{2} = T - 2

.

Die

f

-invarianten Unteräume sind

V_{11} = s p a n ((1, 0, 0, 0, 0)^{T})

mit

p_{1}^{1} = (T - 1)^{1}

, also

n (1, 1) = 1

V_{12} = s p a n ((0, 0, 1, 0, 0)^{T}, (0, 1, 1, 0, 0)^{T})

mit

p_{1}^{2} = (T - 1)^{2}

, also

n (1, 2) = 2

V_{21} = s p a n ((0, 0, 0, 0, 1)^{T}, (0, 0, 0, 1, 2)^{T})

mit

p_{2}^{2} = (T - 2)^{2}

, also

n (2, 1) = 2

Anes1710 aktiv_icon

10:35 Uhr, 12.07.2018

Aha jetzt verstehe ich das:-)
Dann bezeichnet der Doppelindex

s_{i}

den höchsten Grad des jeweiligen Polynoms

p_{i}

Man sieht doch auch, dass das Minimalpolynom das kgV der

p_{i}

ist, also entpricht es in dem Beispiel gerade dem charakteristischen.

Es steht dann noch:

V_{i} = \otimes_{j = 1}^{s_{i}} V_{i j}

in der Sprache der

K [T] -

Moduln der Untermodul der

p_{i} -

Torsion und der freie Anteil entfällt, da

V

ein

K [T]

Torsionsmodul ist.
Warum entfällt das:
Also

K [T]

Torsionsmodul bedeutet ja, dass es ein

r \in K [T]

und

r \neq 0

gibt

, s . d

mit

v \in V

gilt:

r \cdot v = 0

Ein solches

r

wäre doch das Minimalpolynom von dem Endomorphismus

V

also

r = p_{f}

Reicht das dann schon?

ermanus aktiv_icon

12:59 Uhr, 12.07.2018

Ja, letzteres reicht.
Was das Minimalpolynom anbetrifft, hast du einen Fehler gemacht:

Es ist das Minimalpolynom = kgV

((T - 1)^{1}, (T - 1)^{2}, (T - 2)^{2}) = (T - 1)^{2} (T - 2)^{2}

,
also ein echter Teiler des charakteristischen Polynoms.

Anes1710 aktiv_icon

18:34 Uhr, 12.07.2018

Ja du hast Recht.
Herzlichen Dank für deine Hilfe ermanus:-)
Du bist eim toller Helfer:-)

Anes1710 aktiv_icon

08:20 Uhr, 13.07.2018

Ich habe doch noch eine Frage zu
der Rückrichtung:

X = (x_{1}, . ., x_{n})

sei Basis von

V, s . d A_{f, X, X}

die Begleitmatrix zu einem normierten Polynom

p \in K [T]

vom Grad

n

ist.
Wieso folgt mit der Setzung

u = x_{1},

dass

x_{i} = f^{i - 1} (u)

und dann, dass

V f

zyklisch ist?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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