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Begrenztes Wachstum

Schüler Berufsfachschulen, 5. Klassenstufe

Tags: begrenztes Wachstum

couloumb aktiv_icon

16:37 Uhr, 26.11.2011

Hallo,

ich bräuchte hier Hilfe bei folgender Aufgabe:

Über eine Tropfinfusion wird in jeder Sekunde 0,1ml eines Medikaments zugeführt. Der Körper baut in jeder Sekunde

2 %

des bereits im Blut vorhandenen Medikamentes ab. Untersuchen Sie, ob die Menge des Medikamentes im Blut begrenzt wächst. Wie viel von dem Medikament ist nach einer Minute im Blut? Nach welcher Zeit werden pro Minute 0,01ml aufgenommen?

Demnach wäre mein Bestand

B (t) :!

B (t) = B (t - 1) + 0,1 - 0,02 \cdot B (t - 1)

Daraus müsste ich dann eine Tabelle anfertigen, doch wie mache ich das?

t

1
2
3
4
5
usw.

und

B (t)

Doch wie berechne ich hier

B (t)

bzw

B (0)

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Didgeridoo aktiv_icon

21:40 Uhr, 26.11.2011

B(t) misst ja die Konzentration des Medikamentes im Blut. t ist dabei die Zeit, dementsprechend ist B(0) der Ursprungszustand. Ursprünglich hatte der Patient noch kein Medikament im Blut (davon gehe ich jetzt mal aus) entsprechend gilt B(0)=0 und B(t) berechnest du dann rekursiv, weil du hast ja die vorhergehenden Werte gegeben...
LG Didgi

couloumb aktiv_icon

16:32 Uhr, 27.11.2011

Danke, aber wie mache ich das genau? Was muss ich da eingeben in den Taschenrechner, um

z . B

B (1)

zu berechnen?

Vielen Dank im Voraus

couloumb

Didgeridoo aktiv_icon

16:59 Uhr, 27.11.2011

Wenn

B_{0} = 0

, folgt, dass

B_{1} = B_{0} + 0.1 - 0.02 B_{0} = 0.1, B_{2} = B_{1} + 0.1 - 0.02 B_{1} = 0.198

B_{3} = . . .

usw.
Aber das ist natürlich mühsam... du kannst auch ganz leicht in eine explizite Folge umwandeln, um das n-te Glied direkt zu berechnen.
Betrachte dazu deine Glieder:

B_{0} = 0

B_{1} = 0.1

B_{2} = 0.98 \cdot 0.1 + 0.1

B_{3} = (0.98 \cdot 0.1 + 0.1) \cdot 0.98 + 0.1 = (0.9 8^{2} + 0.98 + 1) \cdot 0.1

B_{4} = . . . = (0.9 8^{3} + 0.9 8^{2} + 0.98 + 1) \cdot 0.1

usw. was fällt dir auf?

B_{t} = (0.9 8^{t - 1} + 0.9 8^{t - 2} + . . . + 1) \cdot 0.1

das enthält eine geometrische Reihe. Also

B_{t} = (\sum_{k = 0}^{t - 1} 0.9 8^{k}) \cdot 0.1 = 0.1 \cdot \frac{1 - 0.9 8^{t}}{1 - 0.98} = 0.1 \cdot \frac{1 - 0.9 8^{t}}{0.02} = 5 \cdot (1 - 0.9 8^{t})

Ich hoffe, ich konnte dir etwas weiterhelfen.
LG Didgi

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