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Begriffserkärung aus der Wahrscheinlichkeits

Schüler

Tags: Begriff, laplace, spiel, Wahrscheinlichkeit

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16:13 Uhr, 28.08.2011

Hallo , kann mir jemand mit folgenden Begriff helfen ?
fair

Ich soll in der Hausaufgabe bestimmen, ob ein Spiel fair ist. Was wären denn hierfür die Voraussetzungen ?

Ist ein Spiel erst dann fair , wenn der Einsatz genauso hoch wie der Gewinn ist ?

Danke im voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

16:31 Uhr, 28.08.2011

Unter fair wird verstanden, dass die Gewinnchance mindestens

50 %

ist. Poste mal die gesamte Aufgabe

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16:41 Uhr, 28.08.2011

Okay, hier ist eine der Aufgaben:
Ein Wurf mit zwei Würfeln kostet 1 Euro Einsatz. Ist das Produkt der beiden Augenzahlen größer als

20,

werden 3 Euro ausbezahlt. Ist das Spiel fair ? Wie müsste der Einsatz geändert werden, wenn das Spiel fair sein soll ?

Für die Ergebnismenge habe ich

36

Möglichkeiten heraus. Für die Teilmenge habe ich 6 Ereignisse heraus.
Vom Gewinn muss ich ja den Einsatz von 1 Euro abziehen

d . h

. der Spieler kann nach

36

Versuchen

12

euro gewinnen , hat aber doch einen Verlust von

24

Euro.

anonymous

19:25 Uhr, 28.08.2011

Moin,

Ein Spiel ist "fair" (für beide Seiten), wenn der Erwartungswert für den Gewinn 0 beträgt: Weder der Anbieter, noch der Spieler erwarten Gewinn.

( mind.

50 %

Gewinnchance? Ist es fair, wenn ich

100

Euro pro Spiel verlange, du eine Gewinnchance von

75 %

hast, ich dir im Falle eines Sieges aber nur 2 Euro auszahle? Nein! )

Du musst bei der ersten Frage einfach gucken, ob der Erwartungswert für den Gewinn des Spielers positiv (unfair für den Anbieter) oder negativ (unfair für den Spieler) ist. Bei

b)

musst du dann den Einsatz gleich dem zu erwartenden Gewinn setzen.

Beispiel: Ein einmaliger Würfelwurf kostet 9 Euro. Bei einer "1" oder einer "6" bekommt man

12

Euro. Ansonsten ist der Einsatz weg. Fair?

E (x) = 12 \cdot \frac{1}{3} + (- 9) \cdot \frac{2}{3} = - 2

Unfair aus Sicht des Spielers. Er erwartet bei jedem Spiel einen (Durchschnitts-)Verlust von 2 Euro.

Fair ist es, wenn:

12 \cdot \frac{1}{3} + x \cdot \frac{2}{3} = 0

also, wenn

\Leftrightarrow x = - 6

das Spiel nur 6 Euro kosten würde..

Grüße, IP

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19:34 Uhr, 28.08.2011

Musst du in deiner Rechnung nicht den Einsatz vom Gewinn abziehen , also mit 3 Euro multiplizieren? So haben wir das in der Schule gemacht.

anonymous

19:38 Uhr, 28.08.2011

.. das habe ich so gesehen ja gemacht. "Mein" Erwartungswert ist ja

E (x) = 12 \cdot \frac{1}{3} + (- 9) \cdot \frac{2}{3}

,bzw.:

E (x) = 12 \cdot \frac{1}{3} - 9 \cdot \frac{2}{3}

Ich habe die allgemeine Formel für den Erwartungswert benutzt: Summe aus den Produkten von Ereignis

(12

Euro Gewinn

/ 9

Euro Verlust) und zugeh. Wahrscheinlichkeit

(\frac{1}{3} f

. Gewinn,

\frac{2}{3} f

. Verlust). Man kann natürlich auch einzelnd rechnen. Je mehr Ereignisse du hast

(5

Euro bei Primzahl, 8 Euro wenn Zahl durch 3 teilbar...) desto unübersichtlicher wird's sonst..

Ist aber nat. beides richtig.

anonymous

19:45 Uhr, 28.08.2011

Achso, alternativ kann man den Einsatz als sicheres Ereignis auffassen, da er ja stets bezahlt werden muss. Dann sind hier die Ereignisse:

9 Euro Verlust (Einsatz) mit WSK von

100 % = 1

0 Euro Gewinn mit WSK von

\frac{2}{3}

(bei

2,3,4,5)

21

Euro Gewinn (einsatz zurück und

12

Euro gewonnen) mit WSK von

\frac{1}{3}

(bei

1,6)

E (x) = (- 9) \cdot 1 + 0 \cdot \frac{2}{3} + 21 \cdot \frac{1}{3}

ergibt natürlich auch

E (x) = - 2

Grüße, IP

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19:54 Uhr, 28.08.2011

Was ich gemeint habe ist ,dass wir den von dir zuerst genannten Lösungsansatz verwendet haben. Allerdings haben wir in die Formel gleich den vom Gewinn abgezogenen Einsatz eingesetzt. Also wir hätten jetzt folgendes stehen gehabt:

(12 - 9

Euro)

\cdot \frac{1}{3} + 9

Euro

\cdot \frac{2}{3}

anonymous

21:52 Uhr, 28.08.2011

..wollte gerade antworten, jetzt ist der Text weg! (bin auf "backspace" gekommen

\to

Seite zurück! )

Jetzt nur 'ne Kurzform:

Mein Beispiel ist blöd formuliert, ich wollte, dass man bei einer 1 oder 6 wirklich

12

Euro gewinnt. Wenn man den Einsatz also vor dem Spiel bezahlt (wovon man zu recht ausgeht - mein Fehler), so müsste man

21

Euro gewinnen. Trotzdem müsste bei dir hinten

- 9 \cdot \frac{2}{3}

stehen! ;-)

Naja, die Sache hast du ja verstanden, hier ne kleine Zusammenfassung:

Möglichkeit

a)

Berechne den Erwartungswert der Gewinne und subtrahiere den Einsatz. Ist der berechnete Wert

0,

so ist das Spiel fair.

Möglichkeit

b)

Berechne den Erwartungswert aller Ereignisse (Gewinn und Verlust) und vergleiche ihn mit der Null.

Ist ja auch fast das gleiche...

Grüße, IP

Gerd30.1 aktiv_icon

09:44 Uhr, 29.08.2011

geht das nicht auch einfacher:
die Wahrscheinlichkeit ist P("Gewinn")=

\frac{1}{6}

a)

der Erwartungswert bei 3€ Auszahlung bei Gewinn ist dann E("Gewinn")=

- \frac{5}{6} + \frac{3}{6} = - \frac{1}{3}

b)

der Erwartungswert bei 3€ Auszahlung bei Gewinn bei einem fairen Spiel muss 0 sein:
Sei

x

der Einsatz:

- x \cdot \frac{5}{6} + (3 - x) \cdot \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow - 5 x + 3 - x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

Also ist das Spiel beim Einsatz von

0,5

€ fair!!

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20:39 Uhr, 29.08.2011

danke

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