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Bei welches n wird die Nullhypothese abgelehnt?

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Tags: Hypothesentest, Nullhypothese, test

 
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mariem

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01:15 Uhr, 18.04.2018

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Hallo,

eine Studie vergleicht den Ruhepuls von Berufstätigen, die mit dem Auto oder dem Fahrrad zur Arbeit fahren. Für die Autofahrer/innen ergibt sich eine durchschnittlicher Ruhepuls von 72,1 mit einer (geschätzten) Standardabweichung von 18. Für die Fahrradfahrer/innen ergibt sich ein Ruhepuls von 68,9 mit einer (geschätzten) Standardabweichung von 15. An der Studie nehmen genau gleich viele Auto- wie Fahrradfahrer teil. Es soll untersucht werden, ob der Ruhepuls in beiden Gruppen gleich ist.

(a) Formulieren Sie eine geeignete Null- und Alternativhypothese.
(b) Bei welcher Teilnehmerzahl würde die Nullhypothese zum Niveau α = 1% abgelehnt werden?
(c) Angenommen, der Wert der Teststatistik ist 1,366. Wie viele Personen nehmen an der Studie teil?


Ich habe folgende gemacht:

(a) H0:μx=μy, H1:μxμy

Sind die Hypothesen richtig?

(b) Müssen wir mit den F-Test testen ob σx=σy und dann entsprechend einen Welch-Test oder einen einfachen Zweistichproben T-Test anwenden?

Wenn ja, dann haben wir folgendes:

Wir nehmen an dass X¯=72,1, Y¯=68,9, SXʹ=18, SYʹ=15 gilt.

Der Test auf gleiche Varianzen sieht wie folgt aus:

Die Nullhypothese bzw. die Alternativhypothese ist H0:σY2=σX2, bzw. H1:σX2>σY2.

Für die Teststatistik betrachten wir den Quotienten der realisierten Stichprobenvarianzen F=SXʹ2SYʹ2=182152=1.44
F folgt eine F-Verteilung mit Freiheitsgraden νY=νX=n-1.

Wir haben dass 1-α=99%.

Die Nullhypothese wird abgelehnt wenn F>F1-α(νY,νX)=F0.99(n-1,n-1).

Diese Ungleichung gilt für n-1165, oder nicht?

Für n-1165 sind die kritischen F-Werte unter F=1.44, somit lehnen wir die Nullhypothese für diese n ab, und wenden den Welch-Test an.

Für n-1<165 sind die kritischen F-Werte über F=1.44, somit lehnen wir die Nullhypothese für diese n nicht ab, und wenden einen einfachen Zweistichproben T-Test an.


Ist bisher alles richtig?


Für n-1165 wenden wir den Welch-Test an.

Die Nullhypothese lautet H0:μX-μY=0 und die Alternativhypothese lautet H1:μX-μY0.

Die neue Prüfgröße T für den t-Test mit unbekannten Varianzen lautet T=X¯-Y¯-0SXʹ2nX+SYʹ2nY=72.1-68.9182n+152n=3.2549n=0.136573n

Die Nullhypothese wird abgelehnt wenn T>tk;1-α/2.

Die Zahl der Freiheitsgrade ist k=(SXʹ2nX+SYʹ2nY)21nX-1(SXʹ2nX)2+1nY-1(SYʹ2nY)2=(182n+152n)21n-1(182n)2+1n-1(152n)2=3721(n-1)1921.

Wie kann man den kritishen Wert tk;1-α/2=tk;0.995 berechnen?



Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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anonymous

anonymous

14:31 Uhr, 18.04.2018

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2 Möglichkeiten:
1) Approximation mit der Normalverteilung
Man sagt, dass ab n30 die t verteilung gut durch die Normalverteilung approximiert werden kann.
Da du sowieso n166 vorraussetzt gilt:
k319

man nimmst also an, dass tk;0.995z0.995
und du kannst
0.1366*nz0.995
nach n auflösen.

2)Exakte Lösung durch iterieren: (Vorraussetzung: Du kannst alle Freiheitgrade der t-Verteilung aus einer Tabelle ablesen oder berechnen)

Starte mit mehr oder minder zufällig gewähltem n. Hier bietet sich 166 an.
n0=166
k0=3721*(n0-1)1921=319
n1=(tk0;0.9950.136573)2=360,0107

k1=3721*(n1-1)1921=695
n2=(tk1;0.9950.136573)2=357,6785

...

n3=357.6928
n4=357.6928
-> Weitere iterationen füren zu keiner veränderung mehr
-> da ja gelten soll 0.1366*ntk;0.995
Rundet man n auf.
n=358
Testet man mit na=358 und nb=357 zeigt sich
0.1366*natka;0.995 aber
0.1366*nbtkb;0.995
Aber mit Methode 1 kommt man auf ein sehr ähnliches ergebnis. Das zu berechnen überlasse ich jetzt dir :-)


mariem

mariem aktiv_icon

23:09 Uhr, 18.04.2018

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Mit der Methode 1 haben wir folgendes:

Sodass die Nullhypothese abgelehnt wird muss also folgendes gelten: T>tk;0.9950.136573n>2.575n>355.488
In diesem Fall würde die Nullhypothese bei einer Teilnehmerzahl von n356 zum Niveau α=1% abgelehnt werden.

Ist das richtig?



Betrachten wir den Fall n-1<165. Hier wenden wir einen einfachen Zweistichproben T-Test an.

Die Testgröße lautet T=X¯-Y¯S1nX+1nY mit S=(nX-1)SX2+(nY-1)SY2nX+nY-2, oder nicht?

Wir haben also S=(n-1)182+(n-1)152n+n-2=(n-1)324+(n-1)2252n-2=549(n-1)2(n-1)=549216.5680

Somit bekommen wir T=72.1-68.916.56801n+1n=3.2n16.56802=0.136573n.

Wie kann man hier das tk;0.995 bestimmen? Man kann die Verteilung ja nicht für n<30 als eine Normalverteilung approximieren.
Antwort
anonymous

anonymous

11:58 Uhr, 19.04.2018

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Bei deinen Berechnungen habe ich keinen Fehler gefunden :-)

Ohne Information aus der vorherigen Berechnung:
Du kannst einfach n30 annehmen, und mit dem Normalverteilungsquantil n berechnen.
a) Kommt es zum wiederspruch also das z.b. n10 dann war die Ursprungsannahme falsch und man kann mit dem iterativen verfahren weiter machen (Ist hier einfacher weil jede Tabelle die Freiheitsgrade von 1 bis 30 abdeckt).
b) Stimmt das ergbenis mit der ursprungsannahme überein(z.B. n70), dann war auch die NV Approximation ok.
c) n>166 dann muss man den Welch-Test nutzen

Mit Information aus der vorherigen Berechnung:
Man erkennt das die Teststatistik für den Welch-Test und für dein einfachn 2STP-Test gleich ist. Außerdem ergibt sich für die Freiheitsgrade: kW=1,94(n-1) und kE=2(n-1). Beide tests unterscheiden sich also für gleich große STP größen nur minimal. Also wird auch das ergebnis ähnlich ausfallen. Man kann also davon ausgehen, dass n um 356 liegt. Damit kann man die NV approximation wieder benutzen oder hier direkt darauf schließen, dass der Welch-Test benötigt wird. (Auch wenn es hier keinen großen unterschied macht)
Frage beantwortet
mariem

mariem aktiv_icon

20:40 Uhr, 19.04.2018

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Vielen Dank!!