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Tags: Untermannigfaltigkeit

Didgeridoo aktiv_icon

11:49 Uhr, 08.01.2012

Ich verstehe immer noch nicht, was eine Untermannigfaltigkeit genau ist und wie man zeigt, dass eine Fläche eine Untermannigfaltigkeit ist.
Die Definition lautet ja folgendermassen: Eine Untermannigfaltigkeit von

ℝ^{n}

mit der Dimension k ist eine Menge M

\subset ℝ^{n}

die, die folgende Bedinung auf jeder Stelle

x_{0} \in M

erfüllt:
Es gibt eine offene Umgebung U von

x_{0}

, eine offene Menge

v \subset ℝ^{n}

und ein Diffeomorphismus

h : U \to V

, s.d.

h (U \cap M) = {y \in V : y_{k + 1} = . . . = y_{n} = 0}

Ich hab' mir das ganze mal aufgezeichnet. Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist beispielsweise eine Kugel des

ℝ^{3}

eine 2-dim Untermannigfaltigkeit, denn ich kann für jeden Punkt auf der Kugeloberfläche einen offenen Kreis finden, s.d. diese gebogene Kreisscheibe diffeomorph zu einem offenen Kreis in

ℝ^{2}

ist, oder?

Wie kann ich nun aber konkret zeigen, dass eine Fläche eine Untermannigfaltigkeit ist? z.B. dass ein Zylinder oder eben eine Kugel des

R^{3}

eine 2-dim. Untermannigfaltigtkeit ist? Ich habe mal gehört, dass der Satz über die impliziten Funktionen etwas darüber aussagt, aber wie geht das genau?
Vielen Dank schon im Voraus.

hagman aktiv_icon

13:04 Uhr, 08.01.2012

Hier mal als Beispiele für zweidimensionale Untermannigfaltigkeiten des

ℝ^{3} :

Den (unendlich ausgedehnte) Zylinder und die Kugel kann man unmittelbar aufgrund ihrer Definition als Nullstellenmengen von Funktionen beschreiben, nämlich beispielsweise von

F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 1

(senkrechter Zylinder vom Radius

1)

F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1

(Einheitssphäre)
Es gibt natürlich noch kompliziertere Beispiele, etwa

F (x, y, z) = z^{2} + {(\sqrt{x^{2} + y^{2}} - R)}^{2} - 1

(Torus - Achtung: Für welche

R \in ℝ

ist das wirklich eine Untermannigfaltigkeit?)
aber auch Fälle, wo man statt

f : ℝ^{3} \to ℝ

eher

f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}

vorliegen hat (was statt einer Fläche eine Kurve ergibt):

F (x, y, z) = (x - cos z, y - sin z)

(liefert eine Schraubenlinie)

Was sucht man jetzt?
Gegeben sei ein Punkt

(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in M,

also mit

f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0

.
Gesucht ist

U

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

und ein Diffeomorphismus

h : U \to V \subset ℝ^{3}

(für Untermannigfaltigkeiten im

ℝ^{3})

Die definierende Abbildung

f

erfüllt diese Eigenschaften ja schon beinahe, da sie

M

als Nullstellenmenge beschreibt, es fehlen nur ein paar Dimensionen.
Der Satz über implizite Funktionen liefert sozusagen die fehlenden Koordinaten, so dass man beispielsweise

z

x

und

y

finden kann mit

F (x_{0} + x, y_{0} + y, z_{0} + z (x, y)) = 0,

oder auch mit vertauschten Rollen von

x, y, z

. Die Umkehrung des Diffeomorphismus

(x, y, z) \mapsto (x_{0} + x, y_{0} + y, z_{0} + z (x, y))

liefert dann das Gewünschte

Didgeridoo aktiv_icon

16:33 Uhr, 08.01.2012

Danke vielmals für die ausführliche Antwort. Ich verstehe es schon besser, aber würde trotzdem mal gerne konkret ein Beispiel anschauen. Ich habe noch in unserem Skript einen Satz gefunden, der besagt: Falls es eine offene Menge

W \subset ℝ^{n - 1}

eine offene Umgebung U von

x_{0}

und eine injektive

C^{1}

Abbildung:

Φ : W \to U

, s.d.

Φ (W) = U \cap M

und der rang von

d Φ ∣_{Φ^{- 1} (x_{0})} = n - 1

und die Umkehrabbildung

Φ^{- 1}

stetig ist, dannn ist M eine Untermannigfaltigkeit der Dimension n-1.

Ich nehme mal die Kugel in

ℝ^{3}

, also

M = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}

. Dann ist

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1

und

d f = (2 x, 2 y, 2 z)

ist ungleich 0 für jedes

(x, y, z) \neq (0, 0, 0)

. Der rang vom Differential ist dann 1 und somit ist die Kugel eine 2 dim. Untermannigfaltigkeit. Stimmt das? Und ist das Gebilde dann im Ursprung trotzdem eine Untermannigfaltigkeit?

hagman aktiv_icon

13:09 Uhr, 09.01.2012

Das hast du ganz richtig dargestellt. Das

f

ist hier eigentlich das

Φ^{- 1}

Im Ursprung würde man in der Tat Probleme kriegen, aber

(0,0,0)

gehört ja gar nicht zu

M

(Das Bild von

(0,0,0) \in ℝ^{n - 1} \subset ℝ^{n}

unter

Φ

ist ja

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

und nicht

(0,0,0))

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