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Beispiel für Semibilinearform/Semilinearform gesucht
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 02:52 Uhr, 19.03.2004  |
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Hallo! Mit ist bekannt das das Skalarprodukt bei einem Vektorraum über R eine Bilinearform ist, also die Eigenschaft einer Abbildung erfüllt, die in beiden Argumenten linear ist. Kann mir jemand ein Beispiel für eine Semibilinearform(bzw. Semilinearform) geben, also etwas was nur in einem Argument linear ist, aber im zweiten nicht? Wenn ja, scheitert bei sowas die Linearität bezüglich des zweiten Arguments an der Additivität oder an der Homogenität? |
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Ich verstehe deine Frage nicht so recht. Die Form (x,y) -> x/y zum Beispiel ist natürlich linear im ersten Argument (wenn man das zweite Argument festhält) und nicht linear im zweiten Argument. Aber das meintest du wohl nicht... Eine semilineare Abbildung ist normalerweise eine Abbildung f: C -> C mit den Eigenschaften f(x+y)=f(x)+f(y) f(ax) = conj(a) f(x), d.h. Skalare lassen sich als konjugiert komplexe Skalare herausziehen und demnentsprechend eine Sesquilinearform eine Form, die in der einen Komponente linear und in der anderen Komponente semilinear ist. Einfachstes Beispiel: s(x,y)= x*conj(y) für x,y aus C. Hmm, formuliere bitte deine Frage bitte noch mal genauer, falls ich sie nicht beantwortet haben sollte. Stefan www.matheraum.de |
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anonymous 16:44 Uhr, 19.03.2004 |
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Aloha! Ich hatte das mit den Semibilinearformen nebenbei in der Literatur entdeckt. Da war halt nur eine kurze Definition, die besagt dass eine Abbildungsfunktion mit zwei Argumenten eine Bilinearform heisst, wenn sie in beiden Argumenten linear ist. Als Beispiel wurde dann das Skalarprodukt über den Körper R genannt. Nebenbei wurde dann noch erwähnt, das es analog dazu auch solche Abbildungen gibt, die aber nicht in beiden Argumenten linear sind, sondern nur in einem und diese würde man dann Semibilinearform bzw./oder Semilinearformen nennen (was schon beim Begriff dem präfix "Semi" entspricht). Leider war dafür dann kein Beispiel mit angegeben, so dass ich mich fragte was sowas sein könnte. Es gibt ja übrigens auch noch in diesem Zusammenhang Multilinearformen. Diese sind dann, wie der Begriff schon wieder sagt, in allen Argumenten linear. Ein Beispiel dafür wäre ja die n-zeilige Determinante. Naja, mehr kann ich im Moment dazu auch nicht von mir geben. |
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