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Beispiel für Sigma Algebra (höchstens Abzählbar)

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Maßtheorie, Sigma Algebra, überabzählbar

LD90V aktiv_icon

01:21 Uhr, 11.04.2014

Hallo, ich hab ne Frage bezüglich einer Beispiel-sigma-Algebra.
Sei

M

eine überabzählbare Menge und

A = {m

aus

M | m

höchstens abzählbar oder

M

ohne

m

höchstens abzählbar

}

Bei

A

handelt es sich um eine sigma-Algebra über

M

. Den Beweis habe ich gelesen und auch schon geführt, aber ehrlich gesagt nicht verstanden.

hier nochmal der Beweis, damit auch klar wird an welcher Stelle ich ihn nicht nachvollziehen kann:

Es wird gezeigt, dass

M,

Komplemente und abzählbare Vereinigungen in

A

enthalten sind.

1 .) M

ohne

M =

leer abzählbar

\Rightarrow M \in A

2 .)

Sei

m \in A

abzählbar

\Rightarrow M

ohne

(M

ohne

m) = m

abzählbar

\Rightarrow m \in A

Sei

m

überabzählbar dann folgt

M

ohne

m

abzählbar.

Jetzt habe ich ein Problem mir das Vorzustellen. Nehmen wir an, bei

M

handelt es sich um die Potenzmenge der reellen Zahlen zwischen 0 und 2. Es gibt überabzählbar unendlich viele. Wenn jetzt

m

die Potenzmenge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 ist dann ist das Komplement doch etwas mehr als die Potenzmenge zwischen 1 und 2 also auch überabzählbar.

Der Rest des Beweises über die endlichen Vereinigungen ist wieder nachvollziehbar. Bitte klärt meinen Denkfehler auf.

Danke

L D 90 V

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

DrBoogie aktiv_icon

09:37 Uhr, 11.04.2014

"Nehmen wir an, bei M handelt es sich um die Potenzmenge der reellen Zahlen zwischen 0 und 2. Es gibt überabzählbar unendlich viele. Wenn jetzt m die Potenzmenge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 ist."

m

muss ein Element aus

M

sein. In Deinem Fall liegt

m

gar nicht in

M

. Denn in

M

liegen Teilmengen von

[0, 2]

, keine Potenzmengen (Potenzmengen sind Mengen von Mengen).

LD90V aktiv_icon

10:11 Uhr, 11.04.2014

ok. ich hab mich wohl etwas dumm ausgedrückt.

M

sei

{x \in I R | x \in [0,2]}

wenn

m

nun die menge

{x \in I R | x \in [0,1 [}

ist, dann ist

m^{c}

{x \in I R | x \in [1,2]}

es gibt doch in beiden Mengen überabzählbar viele Elemente?

DrBoogie aktiv_icon

10:24 Uhr, 11.04.2014

Auch so liegt

m

nicht in

M

.
Jetzt liegen bei Dir in

M

Zahlen und keine Mengen. Was übrigens keine gute Wahl für

M

ist. Ich würde schon als

M

eine Potenzmenge nehmen, wie am Anfang. Und als

m

dann eine konkrete Teilmenge von

[0, 2]

LD90V aktiv_icon

10:35 Uhr, 11.04.2014

Ok, also wenn

M

jetzt

P ([0,2])

und

m

so gewählt wie oben. Dann ist

m

eine Teilmenge mit überabzählbar vielen Elementen und

m^{c}

wäre dann

M

ohne

m

also alle Teilmengen von

[0,2]

außer

[0,1 [

?

also ist

m

abzählbar weil es nur eine Menge ist obwohl sie überabzählbar viele Elemente hat?

DrBoogie aktiv_icon

10:41 Uhr, 11.04.2014

Bei dieser Wahl von

M

und

m

liegt

m

nicht in

A

wie oben definiert.
Denn

m

und

m^{c}

sind beide natürlich nicht abzählbar.
Wenn

M = P ([0, 2])

, dann besteht

A

aus den Mengen von nur zwei Typen: 1) Folgen von Zahlen aus

[0, 2]

, 2) Mengen aus

[0, 2]

, welche die Form

[0, 2]

\ {Folge} haben.
Also z.B. liegt

[0, 1) \cup (1, 1.5] \cup (1.5, 2)

A

, weil in dieser Menge nur drei Punkte

1

1.5

und

2

zum "kompletten"

[0, 2]

fehlen.

LD90V aktiv_icon

10:47 Uhr, 11.04.2014

oh man. so war das ja definiert. danke... das hat ja gedauert. Also ist der Teil des Beweises eigentlich nur die Komplemente sind drin weil A so definiert ist, dass für alle Elemente auch ihre Komplemente drin sein müssen.

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