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Beispiel für X nicht kompakt => f nicht stetig

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Algebraische Topologie, Mengentheoretische Topologie

anonymous

15:16 Uhr, 27.04.2021

Seien

X, Y

Hausdorff-Räume,

X

kompakt und

f : X

→

Y

eine stetige, bijektive Abbildung.

1)

Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung

f^{- 1} : Y

→

X

stetig ist,

d . h ., f

ist ein Homöomorphismus.

2)

Zeigen Sie mit einem Beispiel, dass die Aussage in

1)

falsch ist, wenn

X

nicht als kompakt
vorausgesetzt wird.

ich brauche nur die

2),

ich finde leider kein passendes beispiel..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:59 Uhr, 27.04.2021

Z.B.

f : X = [0, 2 π) \to Y = {(x, y) \in ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} = 1}

t \to (\cos (t), \sin (t))

anonymous

17:05 Uhr, 27.04.2021

Ist auf

t

dann das urbild abgebildet? Oder für was steht t?

anonymous

21:26 Uhr, 27.04.2021

Wie genau ist das ein gegenbeispiel? Die umkehrfunktion wäre arccos und arcsin,wenn man

1

in die umkehrabbildung einsetzt, sind verschiedene werte vorhanden, also nicht stetig? Oder verstehe ich falsch?

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22:14 Uhr, 27.04.2021

t

steht für Argument der Funktion,

f : t \to f (t)

. Es kann natürlich aus z.B.

x

heißen, es ist nur eine Bezeichnung.

f

ist stetig, weil Kosinus und Sinus stetig sind.

f

ist auch eine Bijektion zwischen

[0, 2 π)

und dem Einheitskreis in der Ebene.
Aber die Umkehrfunktion

f^{- 1}

ist nicht stetig im Punkt

(0, 0)

. Denn in jeder kleinen Umgebung von

(0, 0)

gibt's Punkte der Form

(\cos (a), \sin (a))

und auch Punkte der Form

(\cos (2 π - a), \sin (2 π - a))

mit kleinen

a

. Also

f^{- 1}

nimmt in jeder kleinen Umgebung von

(0, 0)

Werte

a

, die nah an

0

liegen, aber auch Werte

2 π - a

, die nah an

2 π

liegen.

anonymous

22:18 Uhr, 27.04.2021

Wäre also eine umkehefunktion von

f

dann folgendes:
arccos(x) falls

y \geq 0,

2pi-arccos(x) sonst,
Im nullpunkt würde ja sozusagen 0 und 2pi jeweils rauskommen, also nicht stetig
Wäre das so richtig?

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22:25 Uhr, 27.04.2021

Ja, richtig

anonymous

22:27 Uhr, 27.04.2021

Vielen dank, du hast mir wieder sehr geholfen!

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