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Beispiel nirgends dichter Mengen
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: Funktionalanalysis
 
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Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe leider nicht alleine weiter: Es seien eine Anzählung von und . Ich möchte nun zeigen, dass die Mengen nirgends dicht in liegen. Dass heisst ja, ich muss zeigen, dass das Innere des Abschlusses der leer ist. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen. Viele Grüße! |
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Der Abschluss von ist einfach , also eine 1-dimenionale Strecke im Quadrat . Offensichtlich kann sie keine nichtleere offene Mengen enthalten, denn offene Mengen in enthalten Kreisumgebungen von ihren Punkten. Und ein Kreis "passt" einfach nicht in eine Strecke rein. :-) |
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Hi, erstmal danke für die schnelle Antwort. Ich verstehe nicht wirklich, wieso der Abschluss gerade sein soll. Nach Definition hab ich ja erstmal Und handelt es sich nicht eigentlich bei den einzelnen um "viele" Punkte, die zwar auf einer Geraden liegen und nicht um eine "durchgehende" Strecke? Gruß |
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ist nicht "durchgehend", der Abschluss schon. Der Abschluss ist einfach die Menge selber + alle Häufungspunkte, also Grenzwerte der Folgen aus der Menge. Und jeder Punkt auf der entsprechenden Strecke ist ein Grenzwert der Elemente aus (denn jeder reelle Punkt ist ein Grenzwert einer "rationalen" Folge). |
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Ah okay, ich glaube jetzt hat es gerade bei mir klick gemacht :-D) selber ist eine "gepunktete Strecke" in dem Quadrat (wobei die Punkte an den irrationalen Stellen sind). Und beim Abschluss kommt sozusagen die rationalen Stellen dazu und ich erhalte eine durchgehende Strecke. Dankeschöön :-) |
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