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Beispiel zu Homomorphismus bzw. wohldefiniert

Schüler

Relationen

Tags: Algebra, Äquivalenzklassen, Homomorphismus, Menge, Mengenlehre

Mr-Maths aktiv_icon

19:55 Uhr, 19.10.2015

Hallo zusammen,

erstmal Grundlegendes:
Angenommen man hat eine Funktion

f : ℤ \to ℤ

und

x \mapsto x^{2} + 1

mit folgender Relation:

x \sim y \leftrightarrow f (x) = f (y)

Zusätzlich gilt: f=

h \circ g

Dann müssen g und h, aber folgendermaßen definiert sein:

g : ℤ \to ℤ / \sim

und

h : ℤ / \sim \to ℤ

Laut Verkettungsregeln muss

g (x) = x^{2}

und

h (x) = x + 1

sein, denn dann gilt

f = h \circ g = h (g (x)) = h (x^{2}) = x^{2} + 1

Fragen dazu:
1. Kann man da jetzt schon sagen, ob g, h und f injektiv, surjektiv oder bijektiv ist?
Also f ist klar, denn diese ist weder injektiv noch surjektiv. Und g,h?
2.

ℤ / \sim

ist ja die Menge der Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation ~.
Also gibt es eigentlich pro Paar

(x, y) \in ℤ x ℤ

eine Äquivalenzklasse, wenn

x^{2} = y^{2}

, denn nur dann ist ja

f (x) = f (y)

und die Relation "satisfied". Also sehen die Äq-Klassen z.B. folgendermaßen aus: {5,5}, {-5,5}, {-5,-5} etc., das negative Vorzeichen ist ja bei einer Quadratfunktion egel, da für -5 dasselbe rauskommt wie für 5.

Habe ich das erstmals so richtig verstanden?

Gruß
Mr-Maths

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

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10:00 Uhr, 20.10.2015

"Habe ich das erstmals so richtig verstanden?"

Nicht ganz. Äquivalenzklassen sind Teilmengen von

ℤ

. Was Du schreibst, sind vermutlich Paare, auf jeden Fall ist

{5, 5}

keine Teilmenge von

ℤ

.
In Wirklichkeit sehen alle Äquivalenzklassen in diesem Fall ähnlich aus, sie bestehen immer aus
zwei Elementen, aus

n

und

- n

, mit Ausnahme der Klasse

{0}

. Also, die Klassen sind

{0}, {- 1, 1}, {- 2, 2}

usw.
Damit hast Du

g : n \to {- n, n}

ist nicht injektiv, weil

g (n) = g (- n)

, dafür aber ist

f : {- n, n} \to n^{2} + 1

injektiv.

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12:49 Uhr, 20.10.2015

OK, danke.

Wenn eine Äq-klasse eine Teilmenge von Z ist, dann kann {5,5} nicht jene Teilmenge sein, da in einer Menge etwas nur einmal existiert oder gar nicht. Richtig?

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12:49 Uhr, 20.10.2015

OK, danke.

Wenn eine Äq-klasse eine Teilmenge von Z ist, dann kann {5,5} nicht jene Teilmenge sein, da in einer Menge etwas nur einmal existiert oder gar nicht. Richtig?

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12:52 Uhr, 20.10.2015

Nun, ich weiß nicht genau, was Du mit

{5, 5}

meintest.
Aber in der Auflistung einer Menge kommt jedes Element nur einmal vor.

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13:06 Uhr, 20.10.2015

Ja ich meinte {5,5} als äq-klasse, also Teilmenge von Z, aber das geht ja nicht, da in Z ja alle ganzen zahlen nur EINMAL vorkommen, darum ist Z/~ ={/forall x /in Z: {-x,x}} bei meinem Bsp.

Ist die Notation so richtig?

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13:34 Uhr, 20.10.2015

Ich würde lieber so schreiben.

ℤ / \sim = {{- n, n} :

n \in {0, 1, 2, . . .}}

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18:35 Uhr, 20.10.2015

Ok, danke.

Zum Begriff "wohldefiniert":

h 1 : ℤ / \to ℤ

[z] \sim \mapsto z + 2

h 1 ([3] \sim) = 5

h 1 ([- 3] \sim) = 1

3 (- 3)

, also

[3] \sim = [- 3] \sim

Und das darf nicht sein, anscheinend. Also schreibt man statt z + 2, nämlich |z|+2. Aber warum ist h1 nicht wohldefiniert hier?

Wieso darf für -3 und 3 keine unterschiedlichen Werte rauskommen?

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18:59 Uhr, 20.10.2015

"Wieso darf für -3 und 3 keine unterschiedlichen Werte rauskommen?"

Weil

- 3

und

3

in einer und derselben Klassen sind. Damit würdest Du eine Funktion bekommen, die auf einer Klasse zwei verschiedene Werte hat, und das ist keine Funktion mehr.
Denn Du musst bedenken, dass diese Funktion auf Klassen definiert ist, nicht auf Zahlen.
Wenn Du also

z \to z + 1

schreibst, ist

z

links keine normale Zahl, sondern ein Repräsentant der Klasse. Und die Abbildung muss von der Wahl des Repräsentants unabhängig sein.

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21:01 Uhr, 20.10.2015

Hmm, warum sind denn -3 und 3 in derselben Klasse bei dem Beispiel? Welche Äq-relation ist denn da gegeben?

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21:06 Uhr, 20.10.2015

Sprechen wir jetzt nicht mehr von der Äquivalenz, welche durch

f (x) = x^{2} + 1

definiert ist?
Dann wovon sprechen wir?

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21:35 Uhr, 20.10.2015

Ja also, wenn wir diese Äq-Relation haben: x∼y <-> f(x)=f(y)

Wie würde dann das aussehn auf unsere Funkion h1? Etwa x~y <-> h1(x)=h1(y) und

h 1 : ℤ / \sim \to ℤ

[x] \sim \mapsto x + 2

Oder wie ist das gemeint? Ich bin gerade verwirrt, hmm..

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21:45 Uhr, 20.10.2015

Ich weiß gar nicht, woher jetzt plötzlich

h_{1}

aufgetaucht ist.
Wenn es eine neue Aufgabe ist, dann musst Du sie auch extra stellen.

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21:59 Uhr, 20.10.2015

Nein, da besteht schon ein Zusammenhang mit dem ursprüngl. Beispiel, aber ich erkenne diesen nicht.

Hm, ich dachte ich verstehe es, aber hab mich ein bisschen verwirrt. Kannst du mir bitet sage, was das beispiel mit h1 genau zeigen soll? Also wie zeigt es die nicht wohldefiniertheit?

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07:00 Uhr, 21.10.2015

Noch mal. Was ist

h_{1}

? Ich sehe oben

h

, aber kein

h_{1}

h_{1}

taucht plötzlich unten, ohne Zusammenhang, daher weiß ich nicht, was es ist.

Formuliere bitte die Frage sauber.

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08:20 Uhr, 21.10.2015

Das ist eh das ursprüngliche h, also x+1.

Aber warum darf ich da für das x z.B. -3 und 3 einsetzen?

Wir hatten ja die Funktion f = x^2+1, da haben wir ja f(y)=f(x) also für y -3 und für x +3 einsetzen.

Warum soll man das beim h auch machen dürfen?

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09:03 Uhr, 21.10.2015

h

ist nicht auf Zahlen definiert, sondern auf Klassen aus

ℤ / \sim

.
Das ist also keine "gewöhnliche" Funktion.

Andererseits, passt es bei Dir schon am Anfang nicht zusammen, denn einerseits schreibst Du

g : ℤ \to ℤ / \sim

, andererseits

g (x) = x^{2}

. Beides gleichzeitig kann nicht stimmen.
Daher die Frage - kannst Du die Originalaufgabe posten oder den Originalbeweis oder was auch immer das war, denn Du bringst hier Einiges durcheinander.

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12:37 Uhr, 21.10.2015

Achso OK, jetzt verstehe ich den Zusammenhang.

Also ich glaube wir haben einfach den Def.- und Bildbereich von dem ursprünglichen genommen für die Funktion h1, um zu zeigen, dass h1 für den Def.Bereich nicht wohldefiniert ist

h 1 : Z / \sim \to Z

[x] \sim \mapsto x + 2

[- 3] \sim

repräsentiert ja die Äq-Klasse, wo das Element 3 drinnen ist, richtig?

Werden dann die anderen Elemente(in dem Fall: 3), in dieser Klasse, auch abgebildet, wenn ich

[x] \sim \mapsto x + 2

schreibe für x=-3?

Wie kann ich mir das vorstellen?

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13:49 Uhr, 21.10.2015

"Werden dann die anderen Elemente(in dem Fall:

3

), in dieser Klasse, auch abgebildet, wenn ich

[x] \sim \mapsto x + 2

schreibe für

x = - 3

?"

Eine Abbildung auf Klassen wird durch Repräsentanten definiert, also

f ([x]) := f (x)

, wo

x

ein
Element aus

[x]

ist. Diese Abbildung ist genau dann wohldefiniert, wenn das Ergebnis (also

f (x)

) von der Wahl des Repräsentanten unabhängig ist.
Wenn wir Klassen

[n] = {- n, n}

haben, dann sind darauf z.B. folgende Abbildungen wohldefiniert:

f (x) = x^{2}

f (x) = x^{4} - x^{6}

f (x) = x^{2} + 3

usw. Warum ist z.B.

f (x) = x^{4} - x^{6}

wohldefiniert? Weil

f (n) = f (- n)

für alle

n

. Also ist das Ergebnis unabhängig davon, ob wir

n

oder

- n

aus der Klasse

[n]

nehmen.
Die Abbildung

f (x) = x + 1

ist dagegen nicht wohldefiniert, weil

f (n) \neq f (- n)

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21:51 Uhr, 21.10.2015

D.h., wenn der Definitionsbereich die Menge der Klassen ist, dann ist eine Klasse sozusagen "ein X-wert", also eine Klasse repräsentiert "einen X-Wert" und wenn ich nunmal 2x den selben "X-Wert" habe und es kommen unterschiedliche Y-Werte raus, dann ist das ja keine Funktion mehr.

Geht es um das bei "nicht wohldefiniert"?

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22:12 Uhr, 21.10.2015

Ja, Wohldefiniertheit ist meistens ein Thema in Situationen, wo man Abbildung über einen Repräsentanten einer Klasse aus mehreren Elementen definiert. Aber nicht nur.
Zum diesem Thema allgemein gibt's eine gute Übersicht in Wiki:
de.wikipedia.org/wiki/Wohldefiniertheit

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17:25 Uhr, 22.10.2015

Ah okay, danke dir.

Kurze noch ne allgemeine Frage bitte:
Wenn

ℤ / \sim = {{- 5, 5}, {- 3, 3}, . . .}

, wie kann es dann eine Teilmenge von

ℤ

sein?

ℤ

ist doch die Menge der ganzen Zahlen, also

{. ., - 1, 0, 1, 2 . . .}

und wie kann dann

ℤ / \sim

eine Teilmenge von

ℤ

sein?

Also es müssten doch auch Mengen in Z sein, sind sie aber nicht. Eine Teilmenge von Z wäre z.B.

{1, 2, 3, 4}

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18:27 Uhr, 22.10.2015

"wie kann es dann eine Teilmenge von

ℤ

sein?"

Ist es auch nicht.

Mr-Maths aktiv_icon

18:37 Uhr, 22.10.2015

Ahh! Ok ok, ja stimmt, die Äq-Klassen sind ja Teilmengen von Z, dass ergibt dann wiederum Sinn.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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