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Beispiel zu der Äquivalenzrelation

Schüler

Tags: Algebra, Menge, Mengenlehre, Relation.

Mr-Maths aktiv_icon

14:37 Uhr, 17.10.2015

Hey Leute,

Ich versuch es mal mit folgender Übung:
Untersuchen Sie, welche der folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind und geben Sie gegebenfalls die Äquivalenzklasse von (-3,2) an.

a) (a,b) ~ (c,d)

\leftrightarrow

|a|-|b| = |c|-|d| für (a,b),(c,d)

\in ℝ^{2}

Allgemeine Fragen:
1. Dieses RxR ist also meine Relation, wo unendlich viele Zahlenpaare (x,y) enthalten sind und

\forall x, y \in ℝ

richtig?

2. (a,b) ist dann äquivalent zu (c,d), wenn |a|-|b| = |c|-|d| in Symmetrie, Transitivität und Reflexivität erfüllt ist oder, d.h. wenn ich die Paare (a,b) und (c,d) so umschreiben kann, dass mit Reflexivität, Transitivität und Symmetrie dasselbe rauskommt, was "|a|-|b| = |c|-|d|" ergeben soll, dann ist dies eine Äquivalenzrelation?

Gruß
Mr-Maths

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Roman-22

15:44 Uhr, 17.10.2015

> 1

. Dieses RxR ist also meine Relation,
Nein! Du hast ja noch überhaupt kein

R

definiert, was also soll

R \times R

denn sein?
Die gegebene Relation ist eine Teilmenge von

ℝ^{2} \times ℝ^{2}

>

wo unendlich viele Zahlenpaare

(x, y)

enthalten sind und ∀x,y∈ℝ
Der Teil stimmt jetzt wieder - allerdings ohne den Allquantor

\forall

> 2

(a, b)

ist dann äquivalent zu

(c, d)

Stopp! Soweit bist du noch nicht. Du weißt doch noch gar nicht, ob eine Äquivalenzrelation vorliegt.
Du meinst mit deinem 2. vermutlich das Richtige, drückst dich aber falsch aus. Was soll es denn heißen, dass "|a|-|b| $= | c | - | d |$ in Symmetrie, Transitivität und Reflexivität erfüllt ist".

Du hast eine Relation gegeben und musst nun eben unter Verwendung der gegebenen Definition derselben die Erfüllung der drei Eigenschaften zeigen.

Symmetrie - zu zeigen ist:

\forall a, b, c, d \in ℝ : (| a | - | b | = | c | - | d | \to | c | - | d | = | a | - | b |)

Das ist jetzt so trivial, dass man nicht genau weiß, was man noch zeigen soll. letztlich wird also die Symmetrie der gegebenen Relation durch Verwendung der bekannten Symmetrie der Gleichheitsrelation auf den reellen Zahlen gezeigt.

Und nun formuliere einmal selbst, was genau für Reflexivität und Transitivität (ja, um mich auf den alten Thread zu beziehen, da benötigst du noch zwei weitere Variable zur Beschreibung, zB

e

und

f)

zu zeigen wäre.

R

Mr-Maths aktiv_icon

16:04 Uhr, 17.10.2015

Ich dachte

ℝ^{2}

bedeutet

R x R

(Also "Paarbildung") und die Relation R ist dann eine Teilmenge von

R x R

(R für reele Zahlen).
Bedeutet

ℝ^{2}

jetzt nun, dass hier nur alle pos. Zahlen verwendet werden, oder dass das kartesische Produkt von den reellen Mengen gebildet wird? Ich glaube eher das letztere.

Naja ich verstehe halt einfach noch nicht so recht, für dieses |a| - |b| = |c| - |d| da ist. Ich glaube mit den Kuh, Huhn-Beispiel ist es einfacher zu verstehen. Wenn A = {K,O,H} und AxA = {(K,K), (O,O), (H,H), (K,H), (H,K), (O,H), (H,O), (O,K), (K,O)}
Naja dann gibts hier halt 5 Äq-Rel., wie im alten Thread schon besprochen. Und die Äq-Rel. ist eine Teilmenge von AxA. z.B. R={(K,K), (O,O), (H,H)}. Hier sagten wir, dass die Äq-Klassen {K}, {O} und {H} sind.

Die Relation wäre: x~y

\leftrightarrow

"x und y haben gleiches Geschlecht"
D.h.: K~K und O~O und H~H stimmt, da diese Tiere "zu sich selbst" dasselbe Geschlecht haben.

Nächste Relation: R={(K,K), (O,O), (H,H), (H,O), (O,H)}
Wie ist es hier, Ochse und Huhn haben kein gleiches Geschlecht, also ist das keien Äq-Rel?

Ich denke, wenn ich das Tier-Beispiel hier verstehe, versuche ich mein anderes Beispiel zu lösen, so müsste es besser klappen.

Roman-22

19:17 Uhr, 17.10.2015

>

Ich dachte

ℝ^{2}

bedeutet RxR
Nochmal - was soll denn

R

sein. Das ist doch nirgendwo definiert. IN deinen früheren Threads hattest du

R

als Bezeichner für deine Relation verwendet - hier (noch) nicht.

ℝ^{2} = ℝ \times ℝ

und sonst nix! Die Menge aller geordneter Zahlenpaare, aller 2-Tupel, bei denen die beiden Komponenten eben reelle Zahlen sind. Dieses

ℝ^{2}

entspricht dem, was in deinem früheren Thread A genannt wurde. Die Menge, in der du Kuh, Huhn und Ochse gehalten hast. Jetzt sind in dieser Menge eben ein wenig mehr Viecher drin, nämlich unendlich viele.
Und deine Relation ist wieder eine Teilmenge der Potenzmenge

A \times A,

hier also von

ℝ^{2} \times ℝ^{2}

. Aber das hab ich ja ohnedies schon geschrieben. Drehen wir uns im Kreis?

Und so ein Vieh, mit dem du jetzt zu tun hast, sieht eben zB so aus

\to (4; - 3),

oder

(- 7.6; - 13.5)

oder auch

(- 23.4; - 22.4)

.
Und in Relation, in Beziehung zueinander, stehen die neuen Viecher jetzt nicht mehr dann, wenn sie das gleiche Geschlecht haben, sondern dann, wenn die Differenz aus dem Betrag der ersten und dem Betrag der zweiten Komponente gleich ist.
Für das Vieh

(4; - 3)

ist diese Differenz gleich

| 4 | - | - 3 | = 4 - 3 = 1

.
Für das Vieh

(- 7.6; - 13.5)

ist diese Differenz

- 5.9

und
für das Vieh

(- 23.4; - 22.4)

ist diese Differenz wieder 1.

Daher gilt zB

(4; - 3) ~ (- 23.4; - 22.4)

.
Anm.: Wenn wir mit $R$ deine Relation bezeichnen, dann kann man auch schreiben
$((4; - 3); (- 23.4; - 22.4)) \in R,$ denn $R$ besteht aus solchen Paaren, deren Komponenten Zahlenpaare sind.
Diese beiden Viecher stehen also in Relation zueinander und liegen, sollte sich herausstellen, dass es sich doch um eine Äquivalenzrelation handelt, dann auch in der gleichen Äquivalenzklasse - mit viele, vielen anderen Viechern, denn es gibt ja genug Zahlen, deren Betragsdifferenz 1 ist. Nebenbei gesagt wäre das dann genau die Äquivalenzklasse, die laut Aufgabenstellung "gegebenenfalls" anzugeben ist.

R

EDIT:

>

Nächste Relation:

R = {(K, K), (O, O), (H, H), (H, O), (O, H)}

>

Wie ist es hier, Ochse und Huhn haben kein gleiches Geschlecht, also ist das keien Äq-Rel?
Unfug! Mittlerweile solltest du die drei Eigenschaften, die für Ä-Relation zu untersuchen sind, ja doch kennen! Welche davon ist denn deiner Meinung nach hier nicht erfüllt.

Die Forderung "Jeder muss mit jedem in Relation stehen" ist von dir frei erfunden.

Oder bist du der Meinung, dass die Gleichheits-Relation auf den reellen Zahlen keine Äquivalenzrelation ist, nur weil du gerade gemerkt hast, dass 2 und 3 nicht gleich sind?

Mr-Maths aktiv_icon

19:47 Uhr, 17.10.2015

Ahh ok, sehr gut erklärt, es wird besser!

>> Nächste Relation: R={(K,K),(O,O),(H,H),(H,O),(O,H)}
>> Wie ist es hier, Ochse und Huhn haben kein gleiches Geschlecht, also ist das keien Äq-Rel?
>Unfug! Mittlerweile solltest du die drei Eigenschaften, die für Ä-Relation zu untersuchen sind, ja doch kennen! Welche davon ist denn deiner Meinung nach hier nicht erfüllt.

Jetzt mal ohne irgendwelche Bedingungen mit "gleichem Geschlecht" etc.:
Ja, dieses R ist eine Äq-Rel, weil alle drei Eigenschaften erfüllt sind. Kuh steht in Relation zu sich selbst, Ochse auch und das Huhn auch. Das Huhn steht aber in Relation mit dem Ochsen und umgekehrt(symmetrie). Naja und es gibt 2 Äq-Klassen: {K} und {O,H}, weil Ochse und Huhn ja laut R miteinander in Beziehung stehen.

Okay und jetzt führen wir ein "x~y

\leftrightarrow

x und y haben dasselbe Geschlecht"(wobei (x,y) ja Paare aus unserer Potenzmenge sind). Warum machen wir sowas, was genau bringt uns das? Und genau das verstehe ich noch nicht. Was ändert sich, wenn wir das einführen?

Roman-22

20:21 Uhr, 17.10.2015

>

Warum machen wir sowas, was genau bringt uns das?
Nix Neues. Bestenfalls eine anschauliche Beschreibung, was wir uns unter dieser Relation vorzustellen haben.
Du bist ja hier von der aufzählend gegebenen Relation ausgegangen und damit ist schon alles festgelegt.
Ursprünglich (im anderen Thread) war das doch anders. Die Menge A der drei Tiere war gegeben und die Relation wurde verbal mit der Formulierung "gleiches Geschlecht" festgelegt.
Danach konnte man dann eben diese Aufzählung

R = {(K, K), (O, O), (H, H), (H, K), (K, H)}

hinschreiben.
(Wieso hast du denn bei dir jetzt den Ochsen zur Henne zusammen gespannt? Oder ist das

H

bei dir ein Hahn?)
EDIT: Ah! Jetzt versteh ich deine Frage erst! Das war Absicht mit Ochs und Henne!
Antwort: Natürlich ist deine Aufzählung noch immer einer Äq-Relation. Es sind doch alle drei nötigen Eigenschaften da! Nur die verbale Beschreibung von wegen "Gleiches Geschlecht" stimmt eben jetzt nicht mehr. Es sei denn wir definieren kurzerhand die Bedeutung von "gleiches Geschlecht" neu. Als Mathematiker könnten wir definieren: "Zwei Tiere haben gleiches Geschlecht, wenn keines von beiden eine Kuh ist". Damit würden wir den Ruf, Mathematike wären ein wenig seltsam, sicher bestätigen, aber dafür passt dann auch wieder die Verbalbeschreibung zu deiner Relation :-)

Bei der hier zu behandelnden Relation könnte sich das komplette aufzählende Anschreiben der Relation ein kleinwenig schwieriger gestalten. Nicht nur, weil anstelle von

K

jetzt Ausdrücke wie

((- 17,44536212123; 2312413254,23233121111132))

stehen, sondern vor allem, weil es davon jetzt nicht nur drei sondern unendlich viele gibt. Das könnte das Anschreiben ein wenig in die Länge ziehen und wir würden das Endergebnis der Schreiberei wohl alle nicht mehr erleben.
Daher sind wir hier auf eine beschreibende Angabe der Relation angewiesen, eben dieses

(a, b,) ~ (c, d) \Leftrightarrow | a | - | b | = | c | - | d |

mit

a, b, c, d \in ℝ

.

Da muss man halt ein wenig überlegen, was genau das bedeutet. Aber alle Pärchen aufschreiben geht hier eben nicht.

R

Mr-Maths aktiv_icon

21:18 Uhr, 17.10.2015

>Die Menge A der drei Tiere war gegeben und die Relation wurde verbal mit der Formulierung "gleiches Geschlecht" festgelegt.
Danach konnte man dann eben diese Aufzählung R={(K,K),(O,O),(H,H),(H,O),(O,H)} hinschreiben.

Naja dieses "R" könnte man ja auch so hinschreiben, ohne das mit dem Geschlecht zu wissen. Also werden so Relationen immer mit "Beschreibungen" angegeben? Was bringt es denn mir einfach diese obige Relation einfach so dazustehen zu haben. Ja gut ich weiß das O mit sich selbst in Relation steht und das das Huhn mit Ochse in Relation steht.

Aber wenn ich nun einführe: x~y <-> x und y haben dasselbe Geschlecht. Ist dann dieses obige R eine Äquivalenzrelation, dass für die Beschreibung gilt?

Man sucht doch immer die Äquivalenzrelationen, die zur Beschreibung passen, richtig?

Roman-22

23:02 Uhr, 17.10.2015

>

Man sucht doch immer die Äquivalenzrelationen, die zur Beschreibung passen, richtig?
Was meinst du damit?
Warum sollte man immer Ä.rel. "suchen?
Und von welcher Beschreibung sprichst du?

Mr-Maths aktiv_icon

23:08 Uhr, 17.10.2015

Naja angenommen wir haben die Äq-Rel R={(K,K),(O,O),(H,H),(H,O),(O,H)}

Und folgendes "beschreibt" nun die Relation: x~y <-> x und y haben dasselbe Geschlecht
Naja was "passiert" da nun? K~K stimmt, O,O auch und H,H auch, aber H,O z.B. nicht.

Roman-22

02:11 Uhr, 18.10.2015

>

Naja angenommen wir haben die Äq-Rel

R = {(K, K), (O, O), (H, H), (H, O), (O, H)}

>

Und folgendes "beschreibt" nun die Relation:

x ~ y < \to x

und

y

haben dasselbe Geschlecht

>

Naja was "passiert" da nun?

K ~ K

stimmt,

O, O

auch und

H, H

auch, aber

H, O z . B

. nicht.

Ich versteh das Problem, das du damit zu haben scheinst, immer noch nicht.

Hier eine Analogie, mal ohne Relationen:
Angenommen wir haben die Menge $M = {1; 3; 5; 7; 9}$
Und Folgendes 'beschreibt' nun die Menge: "M ist die Menge aller einstelligen Primzahlen."
Naja, was "passiert" da nun? 1 und 9 sind keine Primzahlen und die 2 fehlt.

Was meinst DU, was da "passiert" ist?
Die Beschreibung passt eben nicht zur gegebenen Menge und wenn jemand behauptet, die Beschreibung passt, dann hat er eben Unrecht.
Die Beschreibung führt eben zu einer anderen Menge als der gegebenen.
Und ob du für die gegebene Menge eine einfache Verbalbeschreibung finden kannst, hängt von deinem Geschick ab. "M ist die Menge aller einstelligen ungerader natürlichen Zahlen" wäre eine Möglichkeit. Du könntest aber genau so gut auch

M = {x | x = 2 n - 1 \land n \in {1; 2; 3; 4}}

schreiben.

Du kannst doch nicht irgendeine Relation aufzählend hinschreiben und dir dann irgendeine Beschreibung einer Relation ausdenken und ernsthaft erwarten, dass beides die gleiche Relation ergibt.

Und was hat das alles noch mit dem Beispiel, mit dem du diesen Thread eröffnet hast, zu tun?

Mr-Maths aktiv_icon

08:39 Uhr, 18.10.2015

Ahh, okay. D.h. mit diesem M = .... beschreibst du eben nur die Menge und dasselbe wurde bei meinem Beispiel mit der Betragsdifferenz gemacht? Das beschreibt einfach die Äq-Relation?(ja, es ist eine, da symmetrisch, reflexiv und transitiv gilt, ich habs geschafft, aber möchte zuerst kurz noch folgendes klären)

Wie wir im anderen Thread doch festgestellt haben, gibt es ja

2^{n} - n

Äq-Relationen bei einer Menge A mit n Elementen. Im unseren Beispiel hier mit der Betragsdifferenz gibt es doch unendlichen Äq-Relationen, wie schon öfters erwähnt, denn
wegen der Reelen Zahlen haben wir unendlichen Paare, also auch unendliche Äq-Rel.
D.h. diese "Beschreibung" mit der Betragsdifferenz, gilt nur für jene Äq-Relationen, die auch diese "Beschreibung" erfüllen. Bei unendlichen vielen Äq-Relationen, passt doch nicht jede zur Beschreibung oder?

Das ist mein Problem, was ich habe, warum es mehrer Äq-Relationen gibt und was man damit macht dann.

Lass uns das bitte noch klären, ich glaub ich verstehs schon fast, es is nur ne kleine Wissenslücke da^^.

Roman-22

11:25 Uhr, 18.10.2015

>

Das ist mein Problem, was ich habe, warum es mehrer Äq-Relationen gibt und was man damit macht
???
Die "Beschreibung" mit der Betragsdifferenz definiert genau EINE Relation auf

ℝ^{2}

und die sollst du bei der Aufgabe eben untersuchen.
Wie kommst du auf die Idee, dass es noch andere Relationen zu dieser Definition geben könnte?
Natürlich gibt es unendlich viele Relationen auf

ℝ^{2}

und da sind auch unendlich viele Äquivalenzrelationen dabei. Aber das ist nicht nur selbstverständlich sondern hier auch irrelevant.
Du sollst dich nur mit der einen, gegebenen Relation beschäftigen und mit all den vielen anderen genau gar nix machen!
Deine Äquivalenzrelation besitzt unendlich viele Äquivalenzklassen und jede davon wiederum unendlich viele Elemente. Eine Klasse sollst du exemplarisch angeben und auch da wirst du wohl mit aufzählen nicht weit kommen, sondern dir eine Beschreibung in mathematischer Symbolik einfallen lassen müssen.

Mr-Maths aktiv_icon

12:39 Uhr, 18.10.2015

Ok ok, jetzt hasts KLICK gemacht, danke^^. Das verstehe ich nun!!

Hier mal meine Lösung zur Aufgabe:
1. (a,b)~(c,d)

\leftrightarrow ∣ a ∣ - ∣ b ∣ = ∣ c ∣ - ∣ d ∣

für

(a, b), (c, d) \in ℝ^{2}

reflexiv, weil: (a,b)~(a,b)

\leftrightarrow ∣ a ∣ - ∣ b ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣

symmetrisch, weil; (a,b)~(c,d)

\to

(c,d)~(a,b)

\leftrightarrow ∣ c ∣ - ∣ d ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣

transitiv, weil:

(a, b) (c, d)

UND

(c, d) (e, f) \to (a, b) (e, f)

\leftrightarrow ∣ a ∣ - ∣ b ∣ = ∣ c ∣ - ∣ d ∣

UND

∣ c ∣ - ∣ d ∣ = ∣ e ∣ - ∣ f ∣ \to ∣ a ∣ - ∣ b ∣ = ∣ e ∣ - ∣ f ∣

Äq-Klasse: Das Paar (-3,2) hat eine Betragsdifferenz von 1, d.h. dass ist auch unsere Klasse und daraus folgt:

[1] \sim = {(x, y \in ℝ^{2} : (- 3, 2) \sim (x, y)}

1. Ist das mit der Äq-Relation richtig gelöst?
2. Habe ich die Klasse richtig angeschrieben?

Roman-22

13:48 Uhr, 18.10.2015

Du gibts überall letztlich nur die Definition, also das, was du zeigen sollts, an, aber keinen tatsächlichen Nachweis.
Warum folgt aus ∣a∣-∣b∣=∣c∣-∣d∣ UND ∣c∣-∣d∣=∣e∣-∣f∣ das zu zeigende ∣a∣-∣b∣=∣e∣-∣f∣ ? Auch wenns offensichtlich ist fehlt doch zumindest ein Hinweis auf die Transitivität der Gleichheitsrelation in

ℝ

. Wie genau ihr das ausformulieren müsst, dass musst du wissen.

Was die Äquivalenzklasse anlangt entspricht deine Lösung einem
"Die Ä.klasse von

(3; 2)

ist die Menge aller Paare

(x; y),

die mit

(3; 2)

in Relation stehen." Das ist nicht falsch, ist aber wiederum nur die Definition. Du gehts hier nicht auf deine spezielle Relation ein. Außerdem ist die Schreibweise

[1]

falsch

-

in den eckigen Klammern muss ein Element der Relation stehen.

Möglich wäre also zB

[(- 3; 2)] = {(x; y) | | x | - | y | = 1}

R

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14:12 Uhr, 18.10.2015

>Möglich wäre also zB [(-3;2)]={(x;y) | |x|-|y|=1}
Aber wo sehe ich da, dass -3 und 2 die Betragsdifferenz von 1 hat?
Grundsätzlich lautet die Schreibweise ja so:

[x] = {y \in A : x y}

Also laut Definition, aber viel kann man da ja nicht rauslesen oder?

Also soll ich für den konreten Nachweis Zahlen einsetzen, um Transitivität, Reflexivität und Symmetrie nachzuweisen? Nur so wäre es doch ein plausibler Nachweis.

Roman-22

14:38 Uhr, 18.10.2015

>

Aber wo sehe ich da, dass

- 3

und 2 die Betragsdifferenz von 1 hat?
Warum möchtest du das explizit irgendwo sehen?
Wenn du es unbedingt komplizierter haben möchtest, kannst du ja die "1" in meinem Vorschlag durch "|-3|-|2|" ersetzen - sinnvoll ist das aber nicht.
Es geht doch nur darum, die Ä.klasse zu charakterisieren und das geht am einfachsten, wenn wir sagen, dass das die Menge aller Pärchen

(x; y)

mit Betragsdifferenz

| x | - | y | = + 1

sind.

>

ber viel kann man da ja nicht rauslesen oder?
Du sollst laut Angabe ja auch nicht irgendwo irgendwas "rauslesen" (was immer das auch konkret hier bedeuten mag), sondern die Äquivalenzklasse von

(- 3; 2)

angeben. Also solltest du das auch tun.

>

Also soll ich für den konreten Nachweis Zahlen einsetzen,
Nur, wenn es dir gelingt, alle möglichen Zahlenpaare einzusetzen. Leider wird das in endlicher Zeit nicht möglich sein.
Ich habs schon mehrfach geschrieben: Weise auf die entsprechende Eigenschaft der Gleichheitsrelation in

ℝ

hin, denn wie ich vermute, wirst du dieselbe ja wohl voraussetzen dürfen. Halte dich außerdem daran, wie ihr das sonst immer gemacht habt - ich kann nicht wissen, was ihr alles voraussetzen dürft und wie exakt ihr alles ausformulieren müsst. Vielleicht reicht ja auch tatsächlich schon ein "eh klar", "logo" oder "sieht man doch".

R

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18:35 Uhr, 18.10.2015

Okay danke.

>

[(- 3; 2)] = (x; y) ∣ ∣ x ∣ - ∣ y ∣ = 1

Also [..] gibt die Äq-klasse an und in den eckigen Klammern steht ein Paar, dass in dieser Klasse ist, richtig? Okay so ist es viel besser aufgeschrieben.

>Weise auf die entsprechende Eigenschaft der Gleichheitsrelation in ℝ hin, denn wie ich vermute, wirst du dieselbe ja wohl voraussetzen dürfen.

D.h. ich soll hinschreiben, dass die Gleichheitsrelation die Eigenschaften symmetrisch, transitiv und reflexiv aufweist?

Roman-22

19:07 Uhr, 18.10.2015

>

Also

[. .]

gibt die Äq-klasse an und in den eckigen Klammern steht ein Paar, dass in dieser Klasse ist, richtig?
So ist die Konvention

-

in der eckigen Klammer steht ein Vertreter der Klasse, also ein Element der zugrunde liegenden Menge und das ist bei dir eben ein Zahlenpaar aus

ℝ^{2}

.

Natürlich ist die Darstellung keineswegs eindeutig, da du ja einen beliebigen Vertreter wählen kannst. Hier natürlich wegen der Angabe

(- 3; 2)

> D . h

. ich soll hinschreiben, dass die Gleichheitsrelation die Eigenschaften symmetrisch, transitiv und reflexiv aufweist?
Das solltest du ja voraussetzen können, aber es dient als Begründung dafür, warum etwa beim Nachweis der Symmetrie deiner Relation aus

| a | - | b | = | c | - | d |

immer auch

| c | - | d | = | a | - | b |

folgt.
Deine Relation ist über die Gleichheitsrelation definiert und daher wirst du alle Eigenschaften auch über die entsprechenden Eigenschaften der Gleichheitsrealtion begründen können.

R

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