Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beispiele von nicht stetigen Funktionen erstellen

Beispiele von nicht stetigen Funktionen erstellen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

Mia2603 aktiv_icon

09:42 Uhr, 14.12.2023

Hi, ich habe als Aufgabe, Beispiele von nicht stetigen Funktionen zu geben. Zum Beispiel eine, die in

x = 1

nicht stetig ist. Wie macht man so etwas?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

calc007

09:47 Uhr, 14.12.2023

Überleg doch mal, wo Funktionen nicht definiert sind,

z . B

. Brüche,
Logarithmen,
Tangens-Funktion,

. .

Mia2603 aktiv_icon

10:35 Uhr, 14.12.2023

Ah oke, das heißt, wenn ich jetzt eine Funktion will, die bei

x = 1

nicht stetig ist, dann wäre das

z . B

f (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}

oder

g (x) = log (x - 1)

? Und wäre ganz normal

h (x) = tan (x)

auch möglich?

HAL9000

10:40 Uhr, 14.12.2023

Das reicht nicht aus: Im Punkt

x = 1

nicht stetig heißt aber auch, dass

1

zur Definitionsmenge der Funktion gehören muss, was bei

f (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}

nicht der Fall ist. Das lässt sich dadurch reparieren, dass du den Funktionswert an der Stelle "ergänzt", z.B. durch abschnittsweise Definition der Funktion:

f (x) = {\begin{array}{ll} 0 & für x = 1 \\ \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} & sonst \end{array}

calc007

10:47 Uhr, 14.12.2023

a)

Brüche
Brüche sind unstetig, wo der Nenner Null wird.
also

z . B . :

(dein Beispiel)

y = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}

y = \frac{1}{x - 1}

y = \frac{1}{cos (\frac{π}{2} \cdot x)}

. .

b)

Logarithmen
Die Argumente vom Logarithmus dürfen nicht Null oder negativ werden.

z . B . :

y =

lb(

| x - 1 |)

y = ln (1 - sin (\frac{π}{2} \cdot x))

. .

c)

Tangensfunktion
Der

tan ()

ist stets beim Argumentewert

\frac{π}{2} + z \cdot π

undefiniert.
Dein Beispiel

h (x) = tan (x)

wäre

z . B

. bei

\frac{π}{2}

undefiniert und unstetig.

z . B :

y = tan (\frac{π}{2} \cdot x)

. .

.

PS:
Upps ja, wahrscheinlich muss man noch die Theorien und Definitionen zur Definitionsmenge beachten. Da verweise ich gerne auf die tieferen Verständnisse der Theoretiker.

Mathe45

12:05 Uhr, 14.12.2023

Brüche sind unstetig, wo der Nenner Null wird und der Zähler

. .

HAL9000

12:21 Uhr, 14.12.2023

Ja, um es nochmal klarzustellen:

Eine Funktion wie

f (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}

ist auf ihrem Definitionsbereich

D_{f} = ℝ \ {1}

stetig! Der nicht existente Grenzwert

lim_{x \to 1} \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}

(bzw. uneigentlich

\infty

) spielt dabei keine Rolle, da die Stetigkeits-Forderung

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

nur für alle

x_{0} \in D_{f}

besteht.

HJKweseleit aktiv_icon

12:24 Uhr, 14.12.2023

Hier noch ein schönes Beispiel.
Die folgende Funktion ist nirgendwo stetig außer für x=1, und da ist sie sogar differenzierbar!

f (x)

= {\begin{array}{rcl} x^{2} & f a l l s & x \in ℚ \\ 2 x - 1 & s o n s t \end{array}

calc007

13:46 Uhr, 14.12.2023

Mia, um es nicht zu kompliziert zu machen:
Vielleicht ist's ja nur ne Übung zum Herantasten.
Du müsstest dir oder ggf. uns eben noch klar machen, ob

a)

deine (Haus-) Aufgabe eher eine Übung zum Herantasten und Üben für (-sorry-) "Anfänger" wie dich und mich gedacht ist,

oder

b)

so streng formal den Definitions-Bereich eingrenzend, wie hier zuletzt angerissen.

Mia2603 aktiv_icon

10:30 Uhr, 16.12.2023

Danke auf jeden Fall für eure Antworten. Also ich habe einen Test in dem so eine Frage drankommen könnte, das heißt es ist glaube ich schon wichtig das genau zu definieren, aber bei den „genauen“ Definitionen blicke ich immer noch nicht ganz durch.

pwmeyer aktiv_icon

11:51 Uhr, 16.12.2023

Hallo,

wenn es für einen Test einfach sein soll, wie wäre es mit einem "Sprung" als Unstetigkeit:

f (x) := 0

für

x \leq 1

und

f (x) := 1

für

x > 1

Gruß pwm

Mia2603 aktiv_icon

07:37 Uhr, 17.12.2023

Stimmt, das würde vielleicht genügen. Danke!

1580086

1579976

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?