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Beiweis dafür, dass eine Menge beschränkt ist

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beschränkung, Folgen und Reihen, Infimum, mengen, Schrank, Supremum

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17:20 Uhr, 20.10.2013

Hallo :-)

Habe im Fach Differential/Integralrechnung einen Übungszettel bekommen bei dem ich mich leider überhaupt nicht auskenne...

1)

Man beweise, dass die Mengen A=((x/(x²+1):

x

Element aus den reelen Zahlen) und B=((2/(x²+1)

: x

Element aus den reelen Zahlen)beschränkt sind.

Ich habe da einfach wahllos irgendwelche Zahlen für

f (x)

eingesetzt und so bewiesen, dass zB 5 und

- 5

nicht in der A Menge enthalten sind

- 0

und

0.5

aber schon. Ist das Beweis genug? Bzw geht das auch einfacher?

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17:27 Uhr, 20.10.2013

So kannst du das nicht machen, man muss das schon präzise nachweisen. Du kannst zunächstmal Zahlen einsetzen, um ein Gespür dafür zu bekommen was obere/untere Schranke sein könnte, aber mehr nicht. Bei der ersten Aufgabe ist

\frac{1}{2}

eine obere Schranke und

- \frac{1}{2}

eine untere Schranke. Versuche nun mal die Aussage

\forall x \in ℝ : | \frac{x}{x^{2} + 1} | \leq \frac{1}{2}

nachzuweisen. Das wäre dann ein korrekter Beweis der Beschränktheit. Eine Idee wie man da vorgehen könnte?

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17:30 Uhr, 20.10.2013

Naja, Wenn ich die Gleichung löse, weiß ich, dass an dieser Stelle

y = 1 .

.
Aber das ist ja eigentlich kein richtiger Beweis dafür, dass das eine Schranke ist, oder?

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17:32 Uhr, 20.10.2013

Das ist keine Gleichung, sondern eine Ungleichung. Und du sollst zeigen, dass diese Ungleichung für alle

x \in ℝ

gilt.

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17:40 Uhr, 20.10.2013

Und wie mach ich das?

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17:43 Uhr, 20.10.2013

Du formst die Ungleichung durch Äquivalenzumformungen so lange um, bis du eine wahre Aussage erkennst. Also

| \frac{x}{x^{2} + 1} | \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{| x |}{x^{2} + 1} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow | x | \leq \frac{1}{2} (x^{2} + 1) \Leftrightarrow . .

.
Versuch mal die Rechnung weiterzuführen.

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17:56 Uhr, 20.10.2013

| x | < \frac{1}{2} (x^{2} + 1) \to | x | < \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \to 0 < x^{2} - 2 | x | + 1

(<

soll kleiner gleich heißen, ich find das Zeichen leider nicht..)

Ich glaube ich bin ziemlich auf dem Holzweg damit, oder?

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17:59 Uhr, 20.10.2013

Wie man Formeln schreibt: www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf
Und doch das ist gut bisher. Nun denke an die binomischen Formeln.

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18:13 Uhr, 20.10.2013

x^{2} - 2 | x | + 1 = {(x - 1)}^{2} \to {(x - 1)}^{2} \geq 0

und weiter?

Wie komme ich überhaupt darauf, dass

\frac{1}{2}

und

- \frac{1}{2}

Schranken sind?

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18:20 Uhr, 20.10.2013

Nicht ganz.

x^{2} - 2 | x | + 1 = {(| x | - 1)}^{2} \geq 0

. Und diese Aussage ist für alle

x \in ℝ

wahr, weil Quadrate im Reellen immer nichtnegativ sind. Damit muss auch die Ausgangsaussage für alle

x \in ℝ

stimmen, da wir nur Äquivalenzumformungen verwendet haben. Und auf mögliche Schranken kommt man einfach durch Probieren. Man kann sich das Ding aber natürlich auch plotten lassen.

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18:33 Uhr, 20.10.2013

ajaaa stimmt^^
Was bedeutet plotten?

Und inwiefern kann ich daraus ablesen, ob ich jetzt Schranken habe oder nicht?
Bzw wie sieht so etwas aus, wenn ich zB nur untere Schranken habe?

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18:52 Uhr, 20.10.2013

de.wikipedia.org/wiki/Plotter
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