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Berechne den Logarithmus
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Algebra
 
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anonymous 19:05 Uhr, 29.10.2005  |
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Hallo, bin etwas am verzweifeln. Wie berechne ich folgendes? Log 2(16) = x Wie bekomme ich raus, das das Ergebnis 4 ist? Ich kapier das nicht. Dank für Eure Hilfe. Liebe Grüße Matti |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Rechnen mit Logarithmen | |
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anonymous 19:16 Uhr, 29.10.2005 |
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Hallo, das kannst du mit der Wurzelfunktion vergleichen. Die Wurzel aus a ist ja definiert als positive Lösung (für x) der Gleichung x^2-a=0. Genauso ist log_a(b) :="Logarithmus von b zur Basis a" definiert als Lösung der Gleichung a^x=b. Übertragen auf dein Beispiel musst du also 2^x=16 lösen. 2^4 ist nun mal gleich 16 und deshalb ist 4 die Lösung. Hoffe, geholfen zu haben. |
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Hallo LittleHelper, Danke für Deine Erklärung. Da ich bei den Potenzberechnungen aufgepasst hatte, weiß ich das 2^4 = 16 ist. Aber langt das um den Logarithmus zu berechnen? Wie berechnet man den Logarithmus? Das ist eigentlich das, was ich nicht verstehe. Bei Multiplikation kann man das doch auch gut darstellen. Wie ist das beim Logarithmus? Sorry, wenn ich so "begriffststutzig" bin, aber ich kapier das noch nicht wirklich. Danke für Deine Geduld. Gruß Matti |
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anonymous 20:13 Uhr, 29.10.2005 |
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Mal eine Gegenfrage: Wie "berechnest" du denn im Kopf die Wurzel aus 9? Du überlegst dir doch welche positive Zahl du quadrieren musst um auf 9 zu gelangen und kommst dann auf die 3. Du löst also im Kopf einfach die Gleichung x^2=9. Was ist also so abwegig daran zur Berechnung von log_4(16) es ähnlich zu machen und einfach 4^x=16 zu lösen? :) Es gibt für dich wirklich keine andere Möglichkeit, als den Logarithmus über die Lösung einer Gleichung zu bestimmen. Natürlich kann man Logarithmen auch näherungsweise über eine Reihendarstellung oder irgendwelche Intervallschachrelungen berechnen. Das wird aber höchstwahrscheinlich nie jemand von dir verlangen, weil das viel zu aufwändig und relativ sinnlos ist. (genau so macht es der Taschenrechner oder der Computer ) Sinnvoll ist das sowieso nur, wenn es um irrationale Logarithmen geht, wie ln(2) z.B. Ich glaube nämlich nicht, dass man sich auch nur eine näherungsweise Lösung zu e^x=2, so einfach aus dem Ärmel schütteln kann. Aber, wie gesagt, dafür ist ja der Rechner da. Was ich also eigentlich sagen will ist, dass du Logarithmen, bei denen du wirklich rechnen müsstest, nie per Hand berechnen können musst. Und die, die man dir zutraut zu bestimmen, musst du nicht berechnen, weil du da nur eine leicht lösbare Gleichung lösen musst. |
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es gibt aber ein schriftliches raditionsverfahren, mit dem man die lösungen von Wurzeln bestimmen kann. Damit mein ich kein näherungsverfahren. Sondern man hat nach jedem rechenschritt eine weitere nachkommastelle. Dazu wurde es sich zu nutze gemacht dass die summe aller ungeraden natürlichen zahl das quadrat der anzahl ihrer elemente. Das wurd einfach nur umgekehrt zwei beispiel WURZEL(9)=3 -1 -3 dreimal -5 ---- 0 WURZEL(51310)=226,5 5'13'10 -1 -3 zweimal --- 113 -41 -43 zweimal --- 2910 -441 -443 -445 -447 sechsmal -449 -451 ---- 23400 -4521 -4523 -4525 fünfmal -4527 -4529 ----- 775 beim zweiten beispiel wurde dieses verfahren natürlich verbessert um den rechenausfwand zu vermindern. zum logarithmieren ist mir sowas nicht bekannt. Da wüsste ich nur einen algorithmus. |
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'n abend. Äh, die Wurzel 9 kann ich auch nicht im Kopf berechnen. Sorry. Das kommt erst noch. Von der Sache her, ja, genau, ich überlege mir das ich 3 quadrieren muss um auf 9 zu kommen. Achso, dann kann ich einfach hergehen und mir den Logarithmus oder Wurzel -Gleichung umdrehen und dann überlegen, was rauskommen kann? Ich habe einen in der Klasse, der macht vieles im Kopf, aber ist eigentlich nicht so der hellste. Leider verät er mir nicht wie..... *seufz* Das ist echt heftig. Da ist er recht gut drin. Nur wüsste ich gerne wie? Ja, zu den schriftlichen Wurzelziehen habe ich vorhin auch was gefunden. Ist noch nicht so logisch, aber nachvollziehbar. Ich dachte, sowas gibt es auch für Logarithmen. Hmm, ich denke, ich bin ein schönes Stück vom Verständnis her weiter gekommen. Interessant wären jetzt noch Aufgaben mit Lösungsweg und vielleicht die Gedankengänge dabei. Gibt es sowas? Halt an relativ einfachen Beispielen. Vielen Dank. Gruß Matti |
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Hallo. Nochmal zur Ausgangsfrage zurück: ld(16) = x. Dann kann man doch folgende Umformung vornehmen. <=> 2^(ld(16)) = 2^x <=> 16 = 2^x <=> 2^4 = 2^x <=> ld(2^4) = ld(2^x) <=> 4 = x. Auch wenn dies natürlich bei den allermeisten Aufgaben nicht so einfach geht, wurde die Lösung hier doch durch Rechnen und Anwenden der Logarithmengesetzte und nicht durch Überlegung gefunden, oder nicht? Gruss, Kosekans |
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Hallo Kosekans, hmmm. Ich glaube langsam zu verstehen. Aber von 16 auf 2^4 zu kommen, das ist eigentlich schon eine Überlegung. Oder man multipliziert solange die 2 mit sich selber, bis man bei 16 angekommen ist. Ich glaube echt, langsam verstehe ich mein Verständnisproblem. Habe immer ohne Umformung "gearbeitet". Aber man kann/soll/muss die Gleichung umstellen. Nur verstehe ich dann nicht, warum die Logarithmusgleich eingeführt wurde, auch wenn die Gleichung damit besser darstellen kann? Egal ob bei 2^x = 16 oder Log2(16) = x. Der Exponent ist so oder so gesucht. Wenn ich doch weiß(durch vorwissen aus der Potenzrechnung), das 2^4 = 16 ist, wozu schreibe ich dann Log2(16) = 4? Bei uns ist der Log leider nicht so erklärt worde, wie in dem Beispiel von Dir. Das finde ich jedenfalls verständlicher. Gruß Matti |
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Hallo. >>> Nur verstehe ich dann nicht, warum die Logarithmusgleich eingeführt wurde, auch wenn die Gleichung damit besser darstellen kann? Egal ob bei 2^x = 16 oder Log2(16) = x. Der Exponent ist so oder so gesucht. Der Ausdruck "x = ld(16)" ist ja eigentlich auch keine richtige Logarithmusgleichung. Sie ist die Lösung der Exponentialgleichung "2^x = 16". Wenn man noch mal einen Vergleich zwischen Logarithmus und Wurzel zieht: 1. Die Gleichung 2^x = 16 hat die Lösung x = log2(16) = 4 genauso wie die quadratische Gleichung x^2 = 9 die Lösung x = sqrt(9) = 3 (und -3, aber darauf kommts jetzt nicht an) hat. In Spezialfällen funktioniert es also die Gleichung im Kopf zu lösen. 2. Die Gleichung 2^x = 24 hat die Lösung x = log2(24) = 3 + log2(3) genauso wie die quadratische Gleichung x^2 = 24 die Lösung x = sqrt(24) = 2sqrt(6) (und -2sqrt(), aber darauf kommts jetzt nicht an) hat. Es funktioniert also in einigen Fällen, teilweise zu logarithmieren genauso wie man auch teilweise radizieren kann. 3. Die Gleichung 2^x = 17 hat die Lösung x = log2(17), genauso wie die quadratische Gleichung x^2 = 17 die Lösung x = +/-sqrt(17) hat. Man erkennt also, dass sich der Ausdruck sqrt(a) in den allermeisten Fällen nicht vereinfachen lässt und man schreibt als Lösung x = sqrt(17). Wenn man eine Zahl braucht, gibt mans eben in den Taschenrechner ein und erhält x = 4,123... Ebenso ist es mit dem Logarithmus: Man kann log2(17) nicht vereinfachen und lässt x = log2(17) als Lösung stehen. Wenn nicht halt den Taschenrechner bemühen und einen Näherungswert angeben. Der Unterschied zwischen radizieren und logarithmieren ist, dass es (wie schon erwähnt wurde) beim Logarithmus keine Möglichkeit gibt, das ganze mit algebraischen Methoden zu berechnen. Wohl, weil die meisten Logarithmen keine algebraischen Zahlen sind. Denk mal an Sinus und Cosinus, die kannst du ja auch nicht schriftlich berechnen. >>> Wenn ich doch weiß(durch vorwissen aus der Potenzrechnung), das 2^4 = 16 ist, wozu schreibe ich dann Log2(16) = 4? Wie gesagt, obwohl u weist, dass eine Lösung der Gleichung x^2 = 4, x = 2 ist, ist dein Gedankengang doch auch x = sqrt(4) = 2, oder? Es ist eben nur eine andere Schreibweise, die aber ihre Berechtigung hat, da sie allgemein nicht vereinfacht werden kann. Alles klar? Gruss, Kosekans |
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sin(x) kann man zum beispiel durch potenzreihen berechnen aber soetwas lernt man erst viel später |
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Hallo. Logarithmen kann man ebenfalls durch Potenzreihen und Taylor-Reihen um die entsprechenden Punkte bestimmen. Mit schriftlich meinte ich im Stiel einer schriftlichen Radizierung oder Division. Gruss, Kosekans |
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| ja das war mir schon klar. ich wollte nur mal darauf hinweisen |
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