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Berechnen Sie die ersten Glieder der Rekursion.

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Tags: Folgen und Reihen, Funktionenreihen, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

Nadine94 aktiv_icon

17:40 Uhr, 25.11.2014

Berechnen Sie die ersten Gleider der Rekursion

an

= a 1 + a 2 + ...

+

an-1 mit

a 1 = 1

Stellen Sie eine Vermutung für die (nicht rekursive) Berechnung der Glieder mit Hilfe einer Formel auf und besweisen Sie diese per Induktion.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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17:45 Uhr, 25.11.2014

Willst Du keine Vermutung ausstellen? ;-)

1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .

Nadine94 aktiv_icon

17:52 Uhr, 25.11.2014

Könnte man diese Reihenfolge als Vermutung aufstellen? Und wie kommst du darauf, weil man ja

a 1 + a 2 + . .

. an-1 gegeben hat.

Und wie sieht dazu die Formel aus, die ich per Induktion beweisen soll? Ich blick dabei nicht so ganz durch.

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17:55 Uhr, 25.11.2014

Diese Zahlen sind nicht die Vermutung, ich habe sie einfach nach der Formel ausgerechnet.
Aber wenn Du nicht siehst, dass diese Zahlen die Form

2^{n}

haben, dann ... :-O

Nadine94 aktiv_icon

17:56 Uhr, 25.11.2014

Doch das sehe ich und das kann ich auch per Induktion belegen.
Aber ich verstehe den Anfang nicht. Also was genau das mit a1+a2+an-1 bedeutet...

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17:58 Uhr, 25.11.2014

könntest du mir versuchen zu erklären was dieses an-1 bedeutet? weil das

n - 1

nicht hochgestellt sondern nach unten gestellt geschrieben ist.

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17:59 Uhr, 25.11.2014

Das ist die Definition der Folge.
Etwas ausführlicher, sie ist definiert durch:

a_{1} = 1

a_{2} = a_{1}

a_{3} = a_{1} + a_{2}

a_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3}

...

a_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n - 1}

Wenn Du das nicht verstehst, wie wolltest Du dann die Formel per Induktion beweisen?

Nadine94 aktiv_icon

18:04 Uhr, 25.11.2014

ah ja gut, okay. das macht Sinn, danke. :-)

aber wie stelle ich denn eine Vermutung am besten an?

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18:06 Uhr, 25.11.2014

Du schreibst einfach:
Vermutung:

a_{n} = 2^{n - 2}

für

n > 1

. :-)

Nadine94 aktiv_icon

18:09 Uhr, 25.11.2014

Okay, alles klar. und die Formel kann ich dann doch auch per Induktion beweisen, oder vertu ich mich da?

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18:09 Uhr, 25.11.2014

Kannst Du.
Aber

a_{n} = a_{1} + . . . a_{n - 1}

musst Du dabei schon nutzen.

Nadine94 aktiv_icon

18:11 Uhr, 25.11.2014

oh. dann hab ich wohl doch keinen Plan, würdest du mir dabei auch noch helfen?

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18:13 Uhr, 25.11.2014

Es ist einfach interessant für mich, wie wolltest Du denn ursprünglich Induktion durchführen? Irgendeine Ideen hattest Du doch.

Nadine94 aktiv_icon

18:19 Uhr, 25.11.2014

gute Frage.

Warum ist die Vermutung eigtl an=

2^{n} - 2

und nicht

2^{n} - 1

? oder

1^{n} - 1

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18:32 Uhr, 25.11.2014

Nicht

2^{n} - 2

, sondern

2^{n - 2}

.
Die Vermutung

2^{n - 1}

z.B. passt einfach nicht, denn

2^{3 - 1} = 4 \neq a_{3} = 2

.
Es ist

a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{3} = 2, a_{4} = 4, a_{5} = 8

usw. - das ist direkt berechnbar. Und jede aufgestellte Vermutung muss diesen Zahlen entsprechen. Außer

2^{n - 2}

wirst keine Vermutung aufstellen können, welche passt.

Und Induktion geht so:
1) Induktionsanfang,

n = 2

- hier prüfen wir direkt, dass

2^{2 - 2} = a_{2} = 1

. Das stimmt.
2) Induktionsschritt: sei

a_{n} = 2^{n - 2}

.
Dann nach der Definition

a_{n + 1} = a_{1} + . . . + a_{n} = 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2^{n - 2} = 1 + \sum_{k = 0}^{n - 2} 2^{k} = 1 + \frac{2^{n - 1} - 1}{2 - 1}

, nach der Formel für geometrische Summe, und weiter

= 1 + 2^{n - 1} - 1 = 2^{n - 1} = 2^{(n + 1) - 2}

. Somit ist die Formel für

n + 1

gezeigt, Ende.

Nadine94 aktiv_icon

18:39 Uhr, 25.11.2014

wow, vielen Dank. da wäre ich alleine nicht drauf gekommen. aber jetzt macht das Sinn. Tausend Dank!

Nadine94 aktiv_icon

18:48 Uhr, 25.11.2014

Aobei, wenn ich mir das jetzt genau ansehe und versuche nachzuvollziehen, wie kommst du auf den großen Bruch? aslo

1 + \frac{2^{n - 1} - 1}{2 - 1}

Nadine94 aktiv_icon

18:53 Uhr, 25.11.2014

wir haben das nämlich immer so aufgeschrieben, Schritt für Schritt. darum steig ich da bei dir noch nicht ganz hinter...

DrBoogie aktiv_icon

23:14 Uhr, 25.11.2014

Ich verwende die Formel
http://de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Geometrische_Summenformel
mit

q = 2

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23:16 Uhr, 25.11.2014

Die Aufgabe ist nicht etwas aufzuschreiben, sondern etwas zu verstehen. ;-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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