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Berechnen des Span

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Tags: Hallo zusammen

hz670d aktiv_icon

20:12 Uhr, 23.11.2021

Hallo zusammen, ich sitze schon den ganzen Tag vor der folgenden Aufgabe:
Gegeben Sei

p 1 (u) = u;

p2(u)=u²-u; p3(u)=u³-2u²+u+1, p4(u)=u³+1
bestimme: dim(span

{

p1,p2,p3,p4})=?

Also ich denke grundsätzlich verstanden zu haben was ein Span ist, habe auch mal versucht diesen aufzustellen:

u*(1,0,0,0)^T+(u²-u)(0,1,0,0)^T+(u³-2u²+u+1)*(0,0,1,0)^T*(u³+1)*(0,0,0,1)^T
stimmt dies dann?

Ist die Dimsension dann nicht die Anzahl der Linear unabhängigen Vektoren, in dem Fall dann 4??

Ich hoffe mal ich bin nicht komplett auf dem Holzweg:-)

Vielen Dank bereit im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

21:15 Uhr, 23.11.2021

Hallo,

> u*(1,0,0,0)^T+(u²-u)(0,1,0,0)^T+(u³-2u²+u+1)*(0,0,1,0)^T*(u³+1)*(0,0,0,1)^T
> stimmt dies dann?

Nein. Wie kommst du auf die Vektoren (1,0,0,0)^T etc.? Von denen ist doch gar keine Rede in der Aufgabe.

Zur Aufgabe selbst: Manchem ist bekannt, dass es keine Gleichung der Art

λ_{n} x^{n} + \dots + λ_{1} x + λ_{0} = 0

gibt, die für alle

x \in ℚ (oder ℝ, ℤ, ℕ)

gültig ist, sofern nicht alle

λ_{i} = 0

sind.
Das legt nahe, dass alle diese

x^{i}

linear unabhängig sind.
Stellt sich aber die Frage, ob du eine Gleichung der Art

λ_{1} u + λ_{2} (u^{2} - u) + λ_{3} (u^{3} - 2 u^{2} + u + 1) + λ_{4} (u^{3} + 1) = 0

findest, in der nicht alle

λ_{i} = 0

sind?!
Wenn dies nicht möglich ist, sind die Polynomfunktionen linear unabhängig und der Span hat die Dimension 4. Wenn doch, dann stellt sich die Frage, wieviele der Polynomfunktionen man minimal "braucht", um die anderen noch ausrechnen zu können. Das wäre dann die Dimension des Spans.

Mfg Michael

hz670d aktiv_icon

21:31 Uhr, 23.11.2021

Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Liege ich mit der Annahme Richtig, dass die Dimension hier also 4 ist,

d . h

. alle

λ i

sind 0?

Nur zum weiteren Verständnis:
dim(span

{

p1,p2}) wäre somit

2,

λ

hier beidemal 0 ist

doch wie sieht es aus, wenn nur ein

p

in dem Span ist, also zum Beispiel span

{

p3}

- \to

Dann müsste hier die Dimension doch 1 sein, richtig?

michaL aktiv_icon

22:28 Uhr, 23.11.2021

Hallo,

> Liege ich mit der Annahme Richtig, dass die Dimension hier also 4 ist, d.h. alle λi sind 0?

Nö.

Bedenke:

p_{1} = u

p 2 + p 1 = u^{2}

Kannst du

u^{3}

auf ähnliche Weise erzeugen?

Mfg Michael

hz670d aktiv_icon

12:07 Uhr, 24.11.2021

Nein u³ ist nicht auf diese Weise darstellbar, da sobald die 1 Weg geht auch die u³ weg ist

hz670d aktiv_icon

19:10 Uhr, 24.11.2021

Ich habe nochmals nachgedacht:
wenn dim(span

{

p1,p2}) dann ist ja

λ 1 (t) + λ 2

(t²-t)

Wenn ich nun

λ 1 = - t + 1

und

λ 2 = 1

wähle, so ergibt die Gleichung auch 0 aber

λ i

ist ungleich 0

somit ist dim(span

{

.....}) dann 0?
Stimmt das so, bzw. habe ich es jetzt verstanden?

Vielen Dank

michaL aktiv_icon

21:12 Uhr, 24.11.2021

Hallo,

> Stimmt das so, bzw. habe ich es jetzt verstanden?

Sieht nicht so aus, entschuldige meine Offenheit.

p_{1} = u

p_{2} = u^{2} - u

p_{3} = u^{3} - 2 u^{2} + u + 1

p_{4} = u^{3} + 1

Dagegen sind die

λ_{i}

Zahlen aus dem Grundkörper (den du nicht genannt hast). In diesem Fall gehe ich mal von

ℝ

aus.

ℚ

würde aber reichen.

Es geht beim Span um die Frage, welche Summen von Vielfachen mit

p_{1}

p_{2}

p_{3}

und

p_{4}

darstellen kann.

Man sieht relativ einfach, dass

p_{2} + p_{1} = 1 \cdot p_{2} + 1 \cdot p_{1} = u^{2}

gilt.

Damit gilt auch

p_{3} + 2 \cdot p_{2} + 1 \cdot p_{1} = u^{3} - 2 u^{2} + u + 1 + 2 (u^{2} - u) + u = u^{3} + 1 = p_{4}

.
So etwas ist nicht schwierig heruszufinden, braucht aber etwas Übung.

Insbesondere gilt also:

p_{3} + 2 \cdot p_{2} + 1 \cdot p_{1} = p_{4}

bzw.

- 1 \cdot p_{4} + 1 \cdot p_{3} + 2 \cdot p_{2} + 1 \cdot p_{1} = 0

. Insbesondere ist

{p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}}

nicht linear unabhängig und damit die Dimension des Spans kleiner als 4.

Man kann also etwa auf

p_{4}

verzichten, ohne irgend welche Elemente zu "verlieren".

Kann man auf noch mehr Elemente verzichten?

Mfg Michael

hz670d aktiv_icon

21:39 Uhr, 24.11.2021

Vielen Dank!

Darf ich den jetzt wenn ich versuche ein weiteres

p

anders darzustellen das

p_{4}

mitbenutzen, auch wenn dieses schon ersetzt wurde?

michaL aktiv_icon

22:09 Uhr, 24.11.2021

Hallo,

hm, besser wäre, es zu streichen.
Es ist so, dass dieses

p_{4}

(stattdessen kannst du auch

p_{3}

streichen) keine "neuen" Informationen ins Spiel bringt.

Mfg Michael

hz670d aktiv_icon

22:17 Uhr, 24.11.2021

Auf mehr Elemente kann ich dann nicht verzichten, wenn ich

p_{4}

streiche. Bzw.

p_{4} = p_{3} + 2 p_{2} + p_{1}

nehme. Anhand dieser Gleichung könnte ich doch allerdings auch

p_{1}

ODER

p_{3}

streichen, wenn ich die Gleichung entsprechend umforme oder?

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