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Berechnen einer Summe (Summe enthält Fakultät)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: berechnen, Fakultät, Folgen, reih, Summen

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anonymous

anonymous

13:33 Uhr, 11.01.2015

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Wiedermal eine Frage von mir.
Aufgabe sieht so aus: Berechnen Sie

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{5}}{n!}

Ich hab jetzt mal die ersten Zahlen eingesetzt aber ich seh keine Regelmäßigkeit.. vielleicht könnte mir jemand sagen wie ich hier weiterkomme beziehungsweise anfangen muss. Danke schon mal im voraus!

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

01:14 Uhr, 12.01.2015

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Hallo,

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{5}}{n!} = \frac{0^{5}}{0!} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{5}}{n!} = 0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n \cdot n^{4}}{n \cdot (n - 1)!} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{4}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(n + 1)}^{4}}{n!} =

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{4} + 4 \cdot n^{3} + 6 \cdot n^{2} + 4 \cdot n + 1}{n!} =

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{4}}{n!} + 4 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{3}}{n!} + 6 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} + 4 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n}{n!} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

Die gleiche Technik wenden wir nun auf

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{4}}{n!}

an und es treten dann nur noch Summen

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{3}}{n!}, \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}, \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n}{n!}

und

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

auf.

Dann wiederholen wir das für

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{3}}{n!}

usw., bis am Schluss dasteht:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{5}}{n!} = k \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

mit einer ganzen Zahl

k

und der Wert der Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

dürfte bekannt sein.

Viele Grüße
Yokozuna

anonymous

anonymous

09:57 Uhr, 12.01.2015

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Wow danke eine super Antwort!!!

Lg

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