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Berechnen einer Verteilungsfunktion

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Finanzmathematik, Sonstig, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Isaaabellll aktiv_icon

12:49 Uhr, 30.09.2020

Hallo

Ich möchte gern zu folgender Zufallsvariable die Verteilungsfunktion

F_{Z} (x)

berechnen.
Dazu sei

Z : Ω \to ℝ

mit

ω \mapsto Z (ω) = \frac{i + 1}{2 i + 1}

für alle

i \in ℕ_{0}

.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gewinn eintritt beträgt

\frac{1}{2}

.

Also ist die Verteilung gegeben durch

ℙ_{Z} = \sum_{i = 1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{i} \cdot δ_{\frac{i + 1}{2 i + 1}}

Nun möchte ich aber diese Verteilung gerne als Funktion schreiben, also

F_{Z} (x) = ℙ (Z \leq x) = . . . ? ? ? ?

Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

13:10 Uhr, 30.09.2020

Hallo,

verwende bitte Latex damit der Inhalt deiner Frage richtig dargestellt wird. Copy & Paste ist nicht hinreichend.
Edit: Ich habe gerade gemerkt, dass im Moment Formeln nicht richtig dargestellt werden. Keine Ahnung woran das liegt.

Gruß
pivot

Isaaabellll aktiv_icon

13:47 Uhr, 30.09.2020

Also ich habe die Frage mit Latex geschrieben und mir werden alle Formeln und Symbole korrekt angezeigt.

pivot aktiv_icon

15:05 Uhr, 30.09.2020

Bei mir jetzt auch. Wie gesagt, keine Ahnung wieso es bei mir nicht richtig angezeigt wurde. Sorry.

Isaaabellll aktiv_icon

16:37 Uhr, 30.09.2020

Alles klar,
Kannst du mir helfen?

pivot aktiv_icon

16:42 Uhr, 30.09.2020

Leider nicht. Wenn möglich, am besten die Frage nochmal neu stellen und diesen Post löschen.

HAL9000

16:58 Uhr, 30.09.2020

@Isaaabellll

Das ist doch wieder ähnlich wie letztens, nur diesmal mit einfacherer (jetzt nämlich geometrischer) Verteilung auf dem Grundraum. Wenigstens hättest du vom letzten mal überbehalten können, dass sowas wie

Z (ω) = \frac{i + 1}{2 i + 1}

Quatsch ist:

Schreib

Z (ω) = \frac{ω + 1}{2 ω + 1}

oder

Z (i) = \frac{i + 1}{2 i + 1}

, egal - Hauptsache, es macht auch Sinn. (Selbstredend ist hier

Ω = ℕ_{0}

.)

Nun zur Verteilungsfunktion.

Z

nimmt wieder nur Werte in

(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}]

an, wir betrachten daher zunächst auch nur Werte

x

aus diesem Intervall:

F_{Z} (x) = P (Z \leq x) = P ({i : \frac{i + 1}{2 i + 1} \leq x}) = P ({i : i \geq \frac{1 - x}{2 x - 1}}) = \sum_{i = n}^{\infty} P ({i})

mit

n := ⌈ \frac{1 - x}{2 x - 1} ⌉

.

Mit

P ({i}) = {(\frac{1}{2})}^{i}

ergibt das dann (per Geometrischer Reihe)

F_{Z} (x) = \frac{1}{2^{n - 1}} = 2^{1 - ⌈ \frac{1 - x}{2 x - 1} ⌉}

.

Ergänzend sei

F_{Z} (x) = 0

für alle

x \leq \frac{1}{2}

sowie

F_{Z} (x) = 1

für alle

x \geq \frac{2}{3}

noch hinzugefügt.

Roman-22

17:07 Uhr, 30.09.2020

@HAL9000

Kann es sein, dass du irrtümlich von

i \in N^{⋆}

(früher

ℕ,

also ohne die Null) ausgehst, anstelle wie angegeben von

i \in ℕ

(früher

ℕ_{0})

Isaaabellll aktiv_icon

18:16 Uhr, 30.09.2020

Hallo HAL9000,

vielen Dank für deine Hilfe.

Als ich mir die Funktion mal geplottet habe, erhalte ich für

x = 2 / 3

, dass

F_{Z} = \frac{1}{2}

und nicht 1.

Darf ich fragen, wie dein Plott aussieht?

HAL9000

08:01 Uhr, 01.10.2020

Bei

x = \frac{2}{3}

ist eine Sprungstelle: Wir haben dort den linksseitigen Grenzwert

F_{Z} (\frac{2}{3} - 0) = \frac{1}{2}

, aber den eigentlichen Funktionswert

F_{Z} (\frac{2}{3}) = 2^{1 - ⌈ \frac{1 - \frac{2}{3}}{2 \cdot \frac{2}{3} - 1} ⌉} = 2^{1 - 1} = 1

.

@Roman-22

Ich bin von gar nichts "irrtümlich" ausgegangen: Isaaabellll selbst hat von

i \in ℕ_{0}

gesprochen. Allerdings gilt für die angegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung offenbar

P ({0}) = 0

, d.h., die vorliegende geometrische Verteilung beginnt bei 1 statt 0 und damit taucht der Zufallsgrößenwert

Z (0) = 1

nur mit Wahrscheinlichkeit 0, d.h. nicht wirklich auf. Das habe ich korrekt berücksichtigt.

Isaaabellll aktiv_icon

08:28 Uhr, 01.10.2020

Vielen Dank für deine Erklärung.
Könntest du mir nochmal deinen Funktionplot zeigen, ich finde irgendwie keinen guten, der mir diese Art von Funktion richtig plottet

HAL9000

09:03 Uhr, 01.10.2020

Da solltest du dich aber langsam mal kümmern, dass du solche Plots technisch selbst auf die Reihe kriegst.

Isaaabellll aktiv_icon

11:28 Uhr, 01.10.2020

Darf ich fragen, was du für eine Software verwendest?

HAL9000

12:34 Uhr, 01.10.2020

Das ist MuPAD (ein CAS innerhalb von Matlab), kostenpflichtige Software. Es gibt aber auch genug freie Software für derlei Zwecke.

Isaaabellll aktiv_icon

14:30 Uhr, 01.10.2020

Vielen Dank für deinen Tipp.

Ich versuche noch deine Rechnung zu verstehen und stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch.

Müsste nicht eigentlich die Verteilungsfunktion Sprungstellen bei den Stellen

x = \frac{i + 1}{2 i + 1}

der Höhe

(\frac{1}{2})^{i}

haben???

HAL9000

14:51 Uhr, 01.10.2020

Ja, hat sie ja auch - rechne doch nach:

Für

x = \frac{i + 1}{2 i + 1}

ist

\frac{1 - x}{2 x - 1} = \frac{1 - \frac{i + 1}{2 i + 1}}{\frac{2 i + 2}{2 i + 1} - 1} = i

, somit ist

F_{Z} (\frac{i + 1}{2 i + 1}) = 2^{1 - i}

.

Für geringfügig kleinere

x

ist

\frac{1 - x}{2 x - 1} = i + ε

, d.h. dann

⌈ \frac{1 - x}{2 x - 1} ⌉ = i + 1

und somit haben wir den linksseitigen Grenzwert

F_{Z} (\frac{i + 1}{2 i + 1} - 0) = 2^{1 - (i + 1)} = 2^{- i}

.

Die Differenz

2^{1 - i} - 2^{- i} = 2^{- i}

ist die Sprunghöhe, so wie sie sein soll.

P.S.: Was sollte deine Wortwahl "eigentlich" ? Verwende niemals solche Falschheits-Unterstellungen, wenn du sie nicht durch konkrete Gegenbeispiele belegen kannst.

Isaaabellll aktiv_icon

15:07 Uhr, 01.10.2020

Vielen Vielen Dank für deine Hilfe. Du hast mir sehr geholfen.
Danke

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