Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Berechnen von Phi

Berechnen von Phi

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

konstantina aktiv_icon

16:24 Uhr, 21.11.2015

Hallo,

ich habe da wieder eine Aufgabe und ihr könnt es auf dem bild sehen und habe zwar versucht es auszurechnen und ich bin mir nicht ganz sicher.Ich habe die Primfaktorzerlegung vorgenommen und erhalte.

φ (999999) = 3^{3} \cdot 7^{1} \cdot 11^{1} \cdot 13^{1} \cdot 13^{1} = 9999999 \cdot (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{37}) = \frac{999999}{111111} = 9

habe ich da einen rechenfehler oder hat

φ (999999) = 9

teilerfremde zahlen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:39 Uhr, 21.11.2015

Hallo,

deine Primfaktorzerlegung stimmt nicht.
Ich habe

999.999 = 3^{3} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37

heraus.

Allerdings müsstest du bei der Primfaktorzerlegung

3^{3} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 1 3^{2}

auch

3^{3} (1 - \frac{1}{3}) \cdot 6 \cdot 10 \cdot 1 3^{2} (1 - \frac{1}{13}) = 168.480 ≫ 9

erhalten. Deine Formel stimmt also nicht.

Daher gilt:

φ (n) = 3^{3} (1 - \frac{1}{3}) \cdot 6 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 36 = 466.560 ≫ 9

Mfg Michael

konstantina aktiv_icon

20:41 Uhr, 21.11.2015

Hallo Michael,

sorry habe mich vertippt.denke das es so auch in ordnung ist.

φ (999999) = 3^{3} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37 = 999999 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{10}{11} \cdot \frac{12}{13} \cdot \frac{36}{37} = 466560

mfg

konstantina aktiv_icon

21:47 Uhr, 21.11.2015

Hallo,
habe zu Aufgabe

b

auch noch ne Frage.

wenn

φ (n) = \frac{1}{3} \cdot n

und

n \leq 100

bestimmt werden soll, richt es dann nicht wenn man die die Zahl 3 potenziert?
Denn

n

darf ja dann nur die Primzahl 3 haben oder etwa nicht.

z . B

φ (9) = 3^{2} = 9 \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 6

φ (27) = 3^{3} = 27 \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 18

φ (81) = 3^{4} = 81 \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 54

Dann hätte ich doch alle

n \leq 100

michaL aktiv_icon

22:30 Uhr, 21.11.2015

Hallo,

ist denn

6 = \frac{1}{3} \cdot 9

?

Mfg Michael

abakus

22:50 Uhr, 21.11.2015

Ist denn

1 - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

konstantina aktiv_icon

14:34 Uhr, 22.11.2015

Hallo,
@michael nein ist es nicht,sorry.@gast du hast auch recht.

ich dachte man könnte so vorgehen:

φ (n) = p^{k} \cdot (1 - \frac{1}{p})

abakus

20:33 Uhr, 22.11.2015

Hallo Konstantina,
deine drei phi-Werte sind in Ordnung.
MichaL hat dir irrtümlich angelastet, dass du einen Rechenfehler hättest. Dabei hat er übersehen, dass du (2/3)*9 und nicht (1/3)*9 rechnen musstest. Mein Einwand war nicht an dich, sondern an ihn gerichtet.

Wenn du zukünftig Rückfragen hast, dann bitte im Forum und nicht per PM.

Die Tabelle der Phi-Werte bis 99 findest du übrigens HIER:
de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Phi-Funktion

konstantina aktiv_icon

20:35 Uhr, 22.11.2015

hallo,

also ist das so wie ich es gemacht habe richtig?

konstantina aktiv_icon

20:39 Uhr, 22.11.2015

und das können auch nur die zahlen für

n

sein ricjtig?

n = 9, 27

und

81

mfg

michaL aktiv_icon

20:55 Uhr, 22.11.2015

Hallo,

die Aufgabenstellung b) erfordert die Angabe aller

n

mit

φ (n) = \frac{1}{3} n

.

Es gilt:

φ (9) = 6 \neq \frac{9}{3} = 3

(Dieser Einwand ist an euch beide gerichtet! Ich möchte der OP damit anlasten, dass

n = 9

KEINE Lösung für b) ist. Irrümlich will mir Gast62 unterstellen, dass ich dir was anlasten wollte. Bitte Gast62, du verstehst mich so gar nicht, also bleib bei deinem Leisten!)

Mfg Michael

abakus

21:31 Uhr, 22.11.2015

Sorry MichaL,
es war ein Missverständnis von mir. Ich glaubte irrtümlich, dass sich dein Einwand auf eine andere Zeile bezog.

konstantina aktiv_icon

07:19 Uhr, 23.11.2015

hallo,

nun bin ich verwirrt:(

michaL aktiv_icon

09:07 Uhr, 23.11.2015

Hallo,

> nun bin ich verwirrt:(

Bedanke dich bei Gast62 dafür.

Zur Erläuterung:
Du meintest, dass

n = 9

eine Lösung für b) sei, d.h. dass

φ (9) = \frac{1}{3} \cdot 9

gälte (vergleiche Aufgabenstellung).
Richtig ist aber vielmehr, dass

φ (9) = 6 = \frac{2}{3} \cdot 9 \neq \frac{1}{3} \cdot 9 = 3

gilt.

Ich denke allerdings auch, dass Gast62 insofern recht hat, als dass ich auch die Tabelle von wikipedia für die ersten 100 Zahlen der eulerschen

φ

-Funktion her nähme und mir händisch die Werte heraus suchte.

Mfg Michael

Zusatz: Ich habe eben erst angefangen und wenigsten für die Zahlen

n = 2 \cdot 3^{k}

(

k \in ℕ_{\geq 1}

) scheint

φ (n) = \frac{1}{3} n

zu gelten. Beweis ist nicht schwierig, versuche ihn selbst!

Zusatz 2: Beachte die Zahlen der Art

n = 2^{l} \cdot 3^{k}

(

k, l \in ℕ_{\geq 1}

)

konstantina aktiv_icon

22:08 Uhr, 23.11.2015

hallo,
@michael,ich habe das mal mit Zusatz 2 von dir mit

n = 2^{l} \cdot 3^{k}

ausprobiert und habe damit eine Kombination gemacht und bekam folgende Zahlen.

φ (6) = 2 \cdot 3 = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2

φ (12) = 2^{2} \cdot 3 = 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4

φ (18) = 2 \cdot 3^{2} = 18 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6

φ (24) = 2^{3} \cdot 3 = 24 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 24 \cdot \frac{1}{3} = 8

φ (36) = ... ... ... ... ... . = 36 \cdot \frac{1}{3} = 12

φ (48) = ... ... ... ... ... . = 48 \cdot \frac{1}{3} = 16

φ (54) = ... ... ... ... ... . = 54 \cdot \frac{1}{3} = 18

φ (72) = ... ... ... ... ... . = 72 \cdot \frac{1}{3} = 24

φ (96) = ... ... ... ... ... . = 96 \cdot \frac{1}{3} = 32

das wären bei mir so die Zahlen und hoffe das es so passt.

mfg

michaL aktiv_icon

18:45 Uhr, 24.11.2015

Hallo,

> hoffe das es so passt.

Kann sein. Sei nicht sauer, aber das kannst du in der Liste von wikipedia selbst mindestens genauso gut vergleichen wie ich.

Viel interessanter ist doch die Frage, ob (und warum) es keine anderen Zahlen gibt, die die Gleichung

φ (n) = \frac{1}{3} n

erfüllen.

Und schlau wäre es auch gewesen, allgemein zu beweisen, dass Zahlen der Art

2^{k} 3^{l}

mit

k, l \in ℕ_{\geq 1}

alle der oben angegebenen Art sind, statt es für die entsprechenden Zahlen "auszurechnen".

Mfg Michael

1270935

1270023

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?