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Berechnen von orthogonalen komplement

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: orthogonal komplement, orthogonalität, Skalarprodukt

Fl4mer aktiv_icon

17:25 Uhr, 27.12.2016

Hi kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen:

Frage:

Sei

U =

span

{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})} \subset ℝ^{3}

. Berechen sie

U^{⊥}

.

Ansatz:

U^{⊥} = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \subset ℝ^{3} | < (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}), (\begin{matrix} λ \\ 2 λ \\ 3 λ \end{matrix}) > = 0,

für alle

λ \in ℝ}

\to U^{⊥} = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \subset ℝ^{3} | λ \cdot (x + 2 y + 3 z) = 0,

für alle

λ \in ℝ}

Meine Frage ist:
Damit

λ \cdot (x + 2 y + 3 z) = 0

ist muss

x + 2 y + 3 z = 0

sein. Jedoch weiß ich nicht wie ich dass weiter zusammenfassen soll, da ja kein richtiges Gleichungssystem vorliegt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

17:31 Uhr, 27.12.2016

"da ja kein richtiges Gleichungssystem vorliegt"

Doch, das ist ein richtiges Gleichungssystem, nur halt aus einer Gleichung.
Eine Gleichung und

3

Unbekannte, das bedeutet einen zweidimensionalen Lösungsraum. Man kann ihn angeben, indem man z.B. eine Basis davon bestimmt.

Es überrascht mich wieder und wieder, dass anscheinend an deutschen Unis überhaupt nicht erklärt wird, wie man allgemeine lineare Gleichungssysteme löst (und nicht nur diejenigen, die eindeutig lösbar sind). Ich muss echt ein Buch darüber schreiben. :-)

Fl4mer aktiv_icon

17:41 Uhr, 27.12.2016

kannst du mir vielleicht erklären wie man eine solche Gleichung auflöst, also wie man die Basis bestimmt ?

DrBoogie aktiv_icon

19:23 Uhr, 27.12.2016

In diesem Fall ganz einfach. Du kannst

y, z

beliebig wählen und dann

x

aus der Gleichung bestimmen. Wenn Du dabei z.B. einmal

y = 1, z = 0

und einmal

y = 0, z = 1

nimmst, bekommst Du zwei Vektoren, die eine Basis des Lösungsraumes bilden.

asg-2014 aktiv_icon

00:51 Uhr, 14.01.2018

Hallo,

ich würde gerne die Lösung der Aufgabe fortsetzen:

U^{⊥} = {(\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) \in ℝ^{3} : λ \cdot (x + 2 y + 3 z) = 0 : λ \in ℝ}

Bestimmen einer Basis des Lösungsraumes des LGS

x + 2 y + 3 z = 0

:

Zu bestimmen sind zwei Vektoren einer Basis:

1. Seien

y, z \in ℝ

beliebig gewählt, z. B.

y = 1

z = 0

, dann gilt:

x + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2

v_{1} = (\begin{array}{rcl} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})

2. Seien

y, z \in ℝ

beliebig gewählt, z. B.

y = 0

z = 1

, dann gilt:

x + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3

v_{2} = (\begin{array}{rcl} - 3 \\ 0 \\ 1 \end{array})

\Rightarrow U^{⊥} = {λ_{1} \cdot (\begin{array}{rcl} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + λ_{2} \cdot (\begin{array}{rcl} - 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}) : λ_{1}, λ_{2} \in ℝ}

Ist es so korrekt?
Auch formal korrekt??

Danke vorab

Viele Grüße

Asg

DrBoogie aktiv_icon

12:56 Uhr, 14.01.2018

"Ist es so korrekt?
Auch formal korrekt??"

Nein, Du musst a) argumentieren, warum die Dimension 2 ist und b) warum die Vektoren linear unabhängig sind. Oder alternativ direkt zeigen, dass die Vektoren eine Basis bilden.

Und was hat

U^{⊥}

am Anfang damit zu tun?

asg-2014 aktiv_icon

21:50 Uhr, 14.01.2018

Hallo,

danke für die schnelle Antwort.

zu a) Hmm, ich weiß leider nicht, wie ich argumentieren kann. Ich weiß nur, dass es 2 Dimensionen sind, da es 2 linear unabhängige Vektoren in der Menge sind, nämlich

(\begin{array}{rcl} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})

und

(\begin{array}{rcl} - 3 \\ 0 \\ 1 \end{array})

.

zu b) Die lineare Unabhängigkeit:

x \cdot (\begin{array}{rcl} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + y \cdot (\begin{array}{rcl} - 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

\Rightarrow x = y = 0

ist die einzige Lösung des LGS. Somit sind die Vektoren linear unabhängig.

>> Und was hat

U^{⊥}

am Anfang damit zu tun?
Wie meinst du es?

Viele Grüße
Asg

asg-2014 aktiv_icon

08:20 Uhr, 15.01.2018

Ergänzung zu a)
Für die Dimension des Lösungsraums argumentiere ich mit dem Dimensionssatz:

d i m (K e r n (U^{⊥})) = 1 \Rightarrow d i m (B i l d (U^{⊥})) = 3 - 1 = 2

DrBoogie aktiv_icon

09:47 Uhr, 15.01.2018

">> Und was hat am Anfang damit zu tun?
Wie meinst du es?"

Ich meine, dass bei Dir weiter steht: "Bestimmen einer Basis des Lösungsraumes des LGS x+2y+3z=0". Diese Aufgabe ist komplett unabhängig von

U

, ich muss nichts von irgendeinem U wissen, um sie zu lösen. Daher die Frage - was hat es mit U zu tun?

Eine Basis des Lösungsraumes des LGS x+2y+3z=0 kann man so bestimmen.
1. Der Lösungsraum ist der Kern der Matrix

(1, 2, 3)

. Der Kern hat die Dimension 3-1=2, denn die Dimension des Bildes = Dimension des Spaltenraumes = Dimension des Zeilenraumes ist offensichtlich 1.
2. Die Vektoren

(- 2, 1, 0)

und

(- 3, 0, 1)

liegen im Kern (direkte Prüfung).
3. Die Vektoren

(- 2, 1, 0)

und

(- 3, 0, 1)

sind linear unabh. (Deine Begründung ist OK)
4. In einem Vektorraum der Dimension n ist jedes linear unabh. System aus genau n Vektoren eine Basis. Daher ist

(- 2, 1, 0)

(- 3, 0, 1)

eine Basis des Lösungsraumes des LGS x+2y+3z=0.

Das wäre ein formal richtiger Beweis.

asg-2014 aktiv_icon

18:30 Uhr, 15.01.2018

Hallo,

deinen Beweis kann ich nachvollziehen. Es muss doch aber

U^{⊥}

bestimmt werden. D.h. die so bestimmte Basis muss in

U^{⊥}

verwendet werden

U^{⊥} = {λ_{1} \cdot (\begin{array}{rcl} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + λ_{2} \cdot (\begin{array}{rcl} - 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}) : λ_{1}, λ_{2} \in ℝ}

Richtig?

Danke

Viele Grüße
Asg

DrBoogie aktiv_icon

18:35 Uhr, 15.01.2018

Was ist denn

U

U^{⊥}

ist nur dann sinnvoll, wenn

U

bekannt ist.

asg-2014 aktiv_icon

18:48 Uhr, 15.01.2018

U

ist ja gegeben:

U = s p a n {(\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})} = {λ \cdot (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) : λ \in ℝ}

DrBoogie aktiv_icon

18:52 Uhr, 15.01.2018

Dann besteht

U^{⊥}

per Definition genau aus solchen Vektoren

(x, y, z)

, dass

(1, 2, 3) \cdot (x, y, z) = 0

gilt, was dasselbe wie

x + 2 y + 3 z = 0

ist.
Also,

U^{⊥}

ist der Lösungsraum von

x + 2 y + 3 z = 0

, was schon bestimmt wurde.
Ende der Geschichte.

asg-2014 aktiv_icon

18:52 Uhr, 15.01.2018

Was mir gerade auffällt:

Wieso steht denn in der Aufgabe

\subset ℝ^{3}

U = s p a n {(\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})} \subset ℝ^{3}

Ist es nicht offensichtlich, dass

U \subset ℝ^{3}

gilt?

DrBoogie aktiv_icon

18:53 Uhr, 15.01.2018

Ja, offensichtlich. Vielleicht steht es als Verständnishilfe.

asg-2014 aktiv_icon

18:55 Uhr, 15.01.2018

Alles klar. Dankeschön für die Hilfe.

Viele Grüße
Asg

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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