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Berechnung Randdichte

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Zufallsvariablen

Tags: kontinuierliche Zufallsvariable, Zufallsvariablen

Valerie-91 aktiv_icon

11:06 Uhr, 07.01.2023

Hallo :-)

ich bräuchte mal Hilfe bei einer Aufgabe, bei der ich nicht weiterkommen.
Ich muss die marginale Dichte von

X

berechnen und damit den Erwartungswert von X. Zusätzlich soll ich die Wahrscheinlichkeitsdichte von

Y

(Bedingung

X = 1)

ausrechnen

Ich habe nun schon die gemeinsame Dichte berechnet:

f_{X},_{Y} (x, y) = \frac{1}{2 Π} \cdot e^{- (\frac{({(x - y)}^{2}) + m^{2}}{2})}

Kann ich wie folgt rechnen:

f_{X} (y) =

∫

f_{X, Y} (x, y)

Für die Dichte von

Y :

f_{X | Y} (x | y) = \frac{f_{X, Y} (x, y)}{f_{Y} (y)}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

12:09 Uhr, 07.01.2023

Dein

f_{X, Y}

ist keine gültige Dichte eines zweidimensionalen Vektores

(X, Y)

, weil

\int_{- \infty} \int_{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- \frac{{(x - y)}^{2} + m^{2}}{2} d x d y = \infty}

gilt, wo doch stattdessen 1 herauskommen muss. Was ist überhaupt

m

, ein Parameter?

EDIT: Stände statt

m

dort

x

oder alternativ auch

y

, dann würde dort tatsächlich eine korrekte Dichte vorliegen. Ist das also lediglich ein ärgerlicher Tippfehler?

Valerie-91 aktiv_icon

12:34 Uhr, 07.01.2023

Hallo,
danke für die rasche Antwort. Ja, ich hab mich blöderweise echt vertippt. Es sollte

({(x - y)}^{2} + y^{2})

heißen. Kann es leider im ersten Post nicht mehr abändern.

HAL9000

12:45 Uhr, 07.01.2023

Aus

{(x - y)}^{2} + y^{2} = 2 {(y - \frac{x}{2})}^{2} + \frac{x^{2}}{2}

folgt

f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d y = \frac{1}{\sqrt{2 π} \cdot 2} e^{- \frac{x^{2}}{4}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{2 {(y - \frac{x}{2})}^{2}}{2}} d y \overset{!}{=} \frac{1}{\sqrt{2 π} \cdot 2} e^{- \frac{x^{2}}{4}}

.

Warum gilt

\overset{!}{=}

? Weil der verbliebene Integrand die Dichte der Normalverteilung

N (\frac{x}{2}, \frac{1}{2})

ist, und das Integral über eine W-Dichte nun mal gleich 1 ist.

Valerie-91 aktiv_icon

13:47 Uhr, 07.01.2023

Kannst du mir vielleicht erklären, wie du auf die Vereinfachung von

{(x - y)}^{2} + y^{2}

kommst.
Ich bekomme, wenn ich das vereinfache immer etwas anderes raus

HAL9000

13:51 Uhr, 07.01.2023

Ausmultiplizieren, und dann quadratische Ergänzung bzgl. Variable

y

Valerie-91 aktiv_icon

17:49 Uhr, 07.01.2023

Danke habe ich jetzt auch rausbekommen.

Kann man die marginale Dichte dann so angeben

(z . B

. in der Klausur)?
Ich muss ja noch die Dichte für

Y

mit

X = 1

berechnen

f_{Y | X} (y | x) = \frac{f_{X, Y} (x, y)}{f_{X} (x)}

Da weiß ich nicht genau, wie ich das am einfachsten ausrechnen kann

HAL9000

19:23 Uhr, 07.01.2023

> Kann man die marginale Dichte dann so angeben (z.B. in der Klausur)?

Ja sicher. Man könnte natürlich auch noch erwähnen, dass dies

X \sim N (0, 2)

bedeutet, d.h. Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung

\sqrt{2}

.

Für die nächste Aufgabe: Du kennst

f_{X, Y}

und hast gerade eben

f_{X}

berechnet - was hindert dich dran, den Quotienten zu bestimmen, und anschließend speziell

x = 1

einzusetzen?

Valerie-91 aktiv_icon

13:33 Uhr, 08.01.2023

Ich hab es mal versucht:

f_{Y | X} (y | x) = \frac{Π \cdot e^{- {(y - \frac{x}{2})}^{2} + x^{2}}}{e^{- \frac{x^{2}}{4}} \cdot \int \frac{2}{\sqrt{2 Π}} \cdot e^{- 2} {(y - \frac{x}{2})}^{2} d y}

HAL9000

16:59 Uhr, 09.01.2023

Was treibst du da? Das Integral im Nenner ist doch längst schon oben ausgerechnet! Ich hatte einfach nur von Einsetzen und Vereinfachen gesprochen, d.h. (mit meiner obigen Exponentenumstellung)

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = \frac{f_{X, Y} (x, y)}{f_{X} (x)} = \frac{\frac{1}{2 π} e^{- \frac{2 {(y - \frac{x}{2})}^{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2 π} \cdot 2} e^{- \frac{x^{2}}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{2 π}} e^{- {(y - \frac{x}{2})}^{2}}

Genau hingeschaut erkennt man darin die Dichte der Normalverteilung

N (\frac{x}{2}, \frac{1}{2})

für diese bedingte Dichte von

Y

unter der Bedingung

X = x

. Also genau die Dichte, die ich oben schon mal zwecks "Wegintegrieren" für die Randdichte

f_{X}

schon mal erwähnt hatte.

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