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Berechnung Stumpfe Pyramide Schnittfläche

Universität / Fachhochschule

Tags: Formel? Mit Winkel α

Bernadette1 aktiv_icon

12:45 Uhr, 04.08.2022

Liebe Leute,

Ich bin leider schon lange nicht mehr in der Schule und scheitere daran, eine Formel zu finden, die mir weiterhilft. Ich würde mich riesig freuen, wenn sich hier jemand finden könnte, der oder die mir weiterhelfen kann und mir die Formel dazu nennen kann!

Ich möchte nämlich gern die Schnittflächengröße eines rechteckigen Pyramidenstumpfes berechnen.
Nämlich wenn der Winkel α

15

Grad (also der Winkel der Mantelflächen), die Grundfläche

2.000

m² (20mx100m) und die Höhe

h

(also Abstand von der Grundfläche bis zur Schnittfläche)

0,4 m

beträgt.

Es wäre für mein Gartenbauprojekt. Vielen Dank!

LG, Bernadette

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Mathe45

13:34 Uhr, 04.08.2022

Grundidee :
Berechne die Körperhöhe der ursprünglichen Pyramide

H (z . B

. mittels senkrechten Schnittes )
Die ürsprüngliche Pyramide und die abgeschnittene Pyramide sind ähnliche Körper für die gilt : Das Verhältnis analoger Flächen ( hier also Grundfläche und Schnittfläche ) ist gleich dem Verhältnis der Quadrate analoger Strecken ( hier

H

und

H - 0,4)

.
Berechne daraus die Schnittfläche.

Bernadette1 aktiv_icon

13:44 Uhr, 04.08.2022

Vielen Dank für diese Idee. Mein Problem ist aber, dass ich den Winkel weiß (α

= 15

Grad), den ich möchte, von diesem ausgehend aber keine Formel finde.

LG, Bernadette

Nick76 aktiv_icon

14:08 Uhr, 04.08.2022

Betrachte das rechtwinklige Dreieck, welches die Mantelfläche als Hypotenuse, und die Höhe

h (= 0.4 m)

sowie die Seite entlang der Grundfläche (hier mit

x

bezeichnet) als Katheten besitzt.
In diesem Dreieck gilt

tan (α) = \frac{h}{x} = \frac{0,4}{x}

daraus folgt

x = \frac{0,4}{tan (α)}

Die Schnittflächengröße ergibt sich dann zu

(20 - 2 \cdot x) \cdot (100 - 2 \cdot x)

rundblick aktiv_icon

16:16 Uhr, 04.08.2022

1 .) \to

"Ich möchte die Schnittflächengröße eines rechteckigen Pyramidenstumpfes berechnen.

vermutlich handelt es sich bei der ursprünglichen Pyramide um eine "gerade" Pyramide, deren
Spitze also senkrecht über dem Mittelpunkt der rechteckigen Grundfläche liegt ?
.. ist das so gemeint ?

\to . .

3 .) \to

und
"die Höhe

h

(also Abstand von der Grundfläche bis zur Schnittfläche)

0,4 m

beträgt."
oder : Grundfläche und Schnittfläche liegen zueinander parallel im Abstand

0,4 m .

.

Problem:

2 .) \to

"Mein Problem ist aber, dass ich den Winkel weiß (α

= 15

Grad), den ich möchte,
von diesem ausgehend aber keine Formel finde

\to

Nämlich wenn der Winkel α

15

Grad (also der Winkel der Mantelflächen ?!?),
die Grundfläche

2.000

m² (20mx100m) ...."

\to

wenn das Rechteck der Grundfläche

100 m

lang und

20 m

breit ist,
dann haben wohl gewiss NICHT alle 4 Mantelflächen den gleichen Neigungswinkel ( 15° )
gegen die Grundfläche der Pyramide..

aber vielleicht meinst ja mit den 15° den Winkel, unter dem alle vier Kantenlinien
(also die 4 Verbindungen der Pyramidenspitze zu den Eckpunkten der Grundfläche)
gegen die Grundfläche geneigt sind .. ?
oder
du musst andernfalls klarstellen,

w e l c h e

Mantelflächen mit der Grundfläche einen Winkel von 15° einschliessen ..

hm..

\to

wie ist das also nun mit deinem Winkel 15° ?
wenn du das sagen kannst, dann wird dir sicher hier auch eine "Formel" dazu angeboten..

nebenbei: vielen Dank für deine Anfrage...
Tipp:
da du hier neu bist und offensichtlich nicht selbst auf die Idee kommst:
falls du nicht mehr an weiterer Hilfe interessiert bist, wird hier zumindest erwartet,
dass du dir die Mühe machst, deine Anfrage mit einem "Haken" als erledigt zu kennzeichnen.

.

HAL9000

15:09 Uhr, 05.08.2022

Man kann natürlich eine rechteckige Grundfläche 20m x 100m betrachten und dann vier geneigte Seitenflächen in Trapezform, die sämtlich um

1 5^{\circ}

geneigt sind (da wäre noch die Frage, ob sich die

1 5^{\circ}

auf die Grundfläche beziehen, oder doch eher auf die Vertikale - in letzterem Fall wäre der Winkel zwischen den Flächen

7 5^{\circ}

):

Nur ist das ganze dann KEIN Pyramidenstumpf! Beim Pyramidenstumpf müssen nämlich die vier schrägen Mantelkanten, so man sie denn nach oben verlängert, in einem Punkt zusammentreffen - das tun sie bei deinem Körper NICHT.

Überhaupt: Was meinst du mit "Schnittflächengröße" bei deinem Körper? Die Maße bzw. den Flächeninhalt der rechteckigen Dachfläche vielleicht?

Roman-22

17:09 Uhr, 05.08.2022

Ich interpretiere dein Problem mal so, dass du auf dem Rechteck mit

20 m \times 100 m

Erde in einer Höhe von

40

cm aufschütten möchtest und das mit einem (sehr flachen) Böschungswinkel von 15° auf allen Seiten.
Wie HAL9000 schon bemerkte ist dieser Körper kein Pyramidenstumpf. Es ist eher so, als würdest du ein Walmdach (mit vier gleich geneigten Dachflächen) mit einer horizontalen Ebene schneiden.

Die (rechteckige) Fläche, die dir da abgesehen von der Böschung noch zur Nutzung übrig bleibt, kannst du mit

A = (a - \frac{2 \cdot h}{tan α}) \cdot (b - \frac{2 \cdot h}{tan α})

mit

a = 100 m, b = 20 m, h = 0,4 m

und

α = 15^{\circ}

berechnen. Du solltest

A \approx 1650,6 m^{2}

erhalten.

Bernadette1 aktiv_icon

10:14 Uhr, 07.08.2022

Liebe Alle,

Vielen Dank für die zahlreichen Antworten!
Ich muss mich sehr entschuldigen, ich war einige Tage nicht vor dem Computer, somit habe ich nicht sofort geantwortet.

Viell. hätte ich sagen sollen, dass ich einen verkehrten Pyramidenstumpf meine (durch Ausbaggerung der Erde).

Um es zu veranschaulichen habe ich eine Skizze gezeichnet, womit hoffentlich klarer wird, was ich meine. Die rot markierte Fläche würde ich gern berechnen.

Also die Grundfläche mit

20 x 100 m

wäre "oben" und die von mir gesuchte Flächengröße der Schnittfläche wäre "unten".
Der Winkel α mit

15

Grad bezieht sich auf die Grundfläche (Erdboden).

@Roman

22 :

Viell. hast Du mir eh die richtige Formel genannt?

Vielen lieben Dank!

LG, Bernadette

rundblick aktiv_icon

11:41 Uhr, 07.08.2022

.
"@Roman

22 :

Viell. hast Du mir eh die richtige Formel genannt?"

sehr wahrscheinlich - und zwar dann, wenn du auch die Neigungswinkel bei den 100m-Seiten
mit 15° haben willst, was aber - wie Roman schon notierte - zu keinem Pyramidenstumpf führt..
und obwohl ich das hier also längst als wahrscheinlich sinnvolle Lösung bezeichnet habe,steht
Roman beharrlich auf seinem halt auf dem Kopf stehenden Haus mit Walmdach

. .

. ;-)

trotzdem noch dazu:

"Viell. hätte ich sagen sollen, dass ich einen verkehrten Pyramidenstumpf meine" .. :-)

\to

wenn du das Modell: PyramidenStumpf - Grundfläche

(100 \cdot 20) m^{2} -

weiter betrachten willst
und der 15°-Winkel

n u r

der Neigungswinkel der Pyramidenseitenflächen mit der 20m-Seite ist
(wie in deiner Zeichnung - der Winkel der beiden anderen Seitenflächen ist dann nicht auch 15°!)

dann wäre die Pyramiden-Gesamthöhe

H = 50 \cdot

tan(15°)

\approx 13,4 m

und damit dann zB. die längere

S e i t e

deines um

h = 0,4 m

tieferen Rechtecks

\to 100 \cdot \frac{H - 0,4}{H}

usw .. (rechne selbst weiter

\to

wie gross sind

d a n n

die kleinere Rechteckseite und die Fläche?)

.

Mathe45

11:46 Uhr, 07.08.2022

tilt
( Hat sich offensichtlich erledigt )

Roman-22

14:19 Uhr, 07.08.2022

>

@Roman

22 :

Viell. hast Du mir eh die richtige Formel genannt?
Nun, wenn die Böschung auf allen vier Seiten 15° betragen soll, was aus deiner Skizze auch nicht hervorgeht, dann sollte die Formel auch für den Aushub passen (Die Formel wurde ja zu Beginn bereits von Nick76 genannt).
Nur, auch wenn du immer noch beharrlich von einem "verkehrten Pyramidenstumpf schreibst, handelt es sich dann eben NICHT um einen Pyramidenstumpf (das Haus mit Walmdach, welches ich zur Verdeutlichung herangezogen hatte, müsste man sich dann halt auf dem Kopf stehend vorstellen ;-)
Die von mir beigefügte maßstabsgetreue Grundrissskizze passt natürlich unverändert auch für deine Baugrube.

P . S . :

Solltest du, was ich nicht wirklich annehme, auf einem Pyramidenstumpf bestehen, dann müsste der Böschungswinkel auf den beiden langen Seiten rund 53,3° betragen!

Bernadette1 aktiv_icon

20:01 Uhr, 07.08.2022

Vielen Dank an alle!

Dann muss ich wohl das Vorhaben überdenken. Danke!

LG, Bernadette

1559451

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