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Berechnung Teleskopsumme mit Summenzeichen

Schüler Abendgymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Summanden zerlegen

anonymous

14:05 Uhr, 25.10.2013

Berechnen Sie mit Hilfe des Summenzeichens die folgende "Teleskopsumme".

S = \sum \frac{1}{k (k + 2)}

für

N ε ℕ

Hinweis: Zerlegen Sie den Summanden in die Summe zweier einfacher Brücher.

Wir haben so eine Aufgabe bereits gerechnet wo man

\frac{1}{k \cdot (k + 1)}

so zerlegt hat, dass raus kommt:

\frac{1}{k} - \frac{1}{k (k + 1)}

.

Leider verstehe ich nicht mit welche Rechenregel wir dort vorgegangen sind. Mich würde erstmal nur interessieren wie man den Bruch zerlegt.

Vielen Dank und Viele Grüße.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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14:16 Uhr, 25.10.2013

Hallo,

normalerweise führt man eine Partialbruchzerlegung durch.

Das Ergebnis ist übrigens:

\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 (x + 2)}

Edit: Ich beziehe mich hier auf den ersten Term.

Edit2: Die Umformung des zweiten Terms ist nicht richtig. Der Faktor k im Nenner des zweiten Summanden (Bruches) ist zu viel.

Du kannst durch einsetzen einer Zahl die Äquivalenz der beiden Terme überprüfen.

Grüße,

pivot

anonymous

14:38 Uhr, 25.10.2013

Vielen Dank schonmal. Zu Edit 2 Danke für die Verbesserung.
Aber nochmal zur ursprünglichen Aufgabe. Ich müsste mir die Partialbruchzerlegung auf jeden Fall nochrmal anschauen..... aber könntest du mi evtl. in kurzer Form anhand der Aufgabe erklären wie du dort vorgehst. Vielen Dank!

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14:42 Uhr, 25.10.2013

Welchen Bruch willst du denn zerlegen ?

anonymous

17:27 Uhr, 03.11.2013

Sorry für die späte Antwort. Ein bissl was dazwischen gekommen. Also ich wollte den ersten Bruch zerlegen sprich:

S = \sum \frac{1}{k \cdot (k + 2)}

für Nεℕ

Vielen Dank!

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18:32 Uhr, 03.11.2013

Die Nenner-Nullstellen sind

k = 0

und

k = - 2

.

Somit ist der Ansatz:

\frac{1}{k \cdot (k + 2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k + 2}

Jetzt multipliziert man die Gleichung mit dem Nenner auf der rechten Seite und gleich kürzen, wo es geht.

Danach die eine Klammer (noch nicht ersichtlich) entfernen, indem man ausmultipliziert.

Und danach die Summanden nach

k, k^{2}

und

k^{0}

ordnen. Dabei haben Summanden, ohne der Variablen

k

(Konstanten), im Prinzip

k^{0}

als Faktor.

k^{0}

ist aber 1. Deswegen nicht klar sichtbar.

anonymous

08:42 Uhr, 05.11.2013

Vielen Dank!

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