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Berechnung Volumen Rotationskörper

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 13. Klassenstufe

Tags: Betonmenge, Hyperbel, Kühlturm, Rotationskörper

bernie70 aktiv_icon

13:47 Uhr, 20.07.2009

Hallo,

als Teil einer Aufgabe soll die verbrauchte Betonmenge beim Bau des Kühlturms eines Kraftwerkes berechnet werden (Schalendicke = 17cm). Die Abmessungen sind aus der Zeichnung ersichtlich.

Als Gleichung für die Hyperbel habe ich folgendes rausbekommen:

$\frac{x^{2}}{{21, 32}^{2}} - \frac{y^{2}}{{67, 83}^{2}} = 1$

Daraus habe ich mir $x^{2}$ zur Berechnung des Rotionskörpers um die y-Achse ermittelt:

$x^{2} = 0, 098794 y^{2} + 454, 5424$

Als Formel für die Berechnung würde ich folgende nehmen:

$V = π \int_{x_{1}}^{x_{2}} x^{2} d y$

Ich habe als erstes das Gesamtvolumen des Rotationskörpers berechnet ${(x}_{1} = 0, x_{2} = 21, 32)$ und dann das innere Volumen ${(x}_{1} = 0, x_{2} = 21, 15)$ davon abgezogen.

Dabei kommt allerdings eine unrealistische Zahl raus. Habe ich da einen Denkfehler?

Danke für die Antworten!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hyperbeln

mathemaus999

16:04 Uhr, 20.07.2009

Hallo,

wenn du um die y-Achse rotieren lässt, dann musst du auch die Formel für die Rotation um die Achse nehmen und die entsprechenden y-Werte einsetzen.

Grüße

bernie70 aktiv_icon

18:27 Uhr, 20.07.2009

Hallo mathemaus999,

danke für die Antwort - du hast natürlich Recht.

Ich war beim Abschreiben der Formel etwas schlampig. Die richtige Formel für die Rotation um die y-Achse wäre folgende gewesen:

$V_{y} = π \int_{x_{2}}^{x_{1}} x^{2} y^{'} d x$

Wenn ich aber das y' ins Spiel bringe, habe ich x und y in der Gleichung, was mir nicht sehr gefällt.

Wenn ich das Ganze um die x-Achse rotieren lasse, würde ich die folgende Formel verwenden:

$V_{x} = π \int_{x_{2}}^{x_{1}} y^{2} d x$
Als $y^{2}$ habe ich folgendes rausgekriegt:
$y^{2} = {10, 122 x}^{2} - 4600, 9089$

Das in die Volumsformel eingesetzt und Berechnung wie oben beschrieben liefert leider auch nicht das gewünschte Ergebnis. Kann mir bitte jemand sagen, wo ich den Fehler begehe?

Vielen Dank!

mathemaus999

20:45 Uhr, 20.07.2009

Hallo,

ich weiß nicht, wo du das Problem siehst.

Wenn du den Graphen um die y-Achse rotieren lässt, hast du als Funktion die oben von dir genannte

x^{2} = 0,098794 \cdot y^{2} + 454,5424 .

Die integrierst du in den Grenzen von

- 73,65

bis

19,67

und multiplizierst das Ergebnis mit

Π

.

Grüße

bernie70 aktiv_icon

20:51 Uhr, 20.07.2009

Hallo mathemaus999,

wenn ich die Rechnung (so wie von Dir beschrieben) mache, bekomme ich das Gesamtvolumen - das ist mir klar. Leider ist das nocht nicht ganz das was ich benötige. Wie komme ich dann auf das Betonvolumen? Ich kann doch nicht einfach von den y-Grenzen die 17cm abziehen, denn das ergibt für mich keinen Sinn.

Liebe Grüße!

Edddi aktiv_icon

09:50 Uhr, 21.07.2009

..das ist nicht so einfach....ich gehe mal davon aus, das du einfach von der x=f(y)-Funktion

0,17

abziehen sollst, um so das innere Volumen zu berechnen.

Allerdings liefert dies nicht das Ergebniss für eine Schalendicke von 17cm

= 0,017

Einheiten (da in Meter gerechnet wird), da die Schalendicke ja normalerweise in der Normalen gemessen wird.

Als Annäherung dürfte dies jedoch reichen.

Das Gesamtvolumen ist also:

V_{A} = Π \cdot \int_{y_{0}}^{y_{1}} a \cdot y^{2} + b

mit

x^{2} = a \cdot y^{2} + b

Für den inneren Rotationskörper sind die Funktionswerte um

0,17

vermindert, also:

\sqrt{a \cdot y^{2} + b} - 0,17

somit ergibt sich für diesen Rotationskörper:

V_{i} = Π \cdot \int_{y_{0}}^{y_{1}} {(\sqrt{a \cdot y^{2} + b} - 0,17)}^{2}

und so für den Schalenkörper:

V_{A} - V_{i} = Π \cdot \int_{y_{0}}^{y_{1}} a \cdot y^{2} + b - Π \cdot \int_{y_{0}}^{y_{1}} {(\sqrt{a \cdot y^{2} + b} - 0,17)}^{2}

= Π \cdot (\int_{y_{0}}^{y_{1}} a \cdot y^{2} + b - \int_{y_{0}}^{y_{1}} {(\sqrt{a \cdot y^{2} + b} - 0,17)}^{2})

= Π \cdot (\int_{y_{0}}^{y_{1}} 0,34 \cdot \sqrt{a \cdot y^{2} + b} - {0,17}^{2})

= Π \cdot 0,34 \cdot \int_{y_{0}}^{y_{1}} \sqrt{a \cdot y^{2} + b} \cdot d y - Π \cdot {0,17}^{2} \cdot \int_{y_{0}}^{y_{1}} \cdot d y

= Π \cdot 0,34 \cdot \int_{y_{0}}^{y_{1}} \sqrt{a \cdot y^{2} + b} \cdot d y - Π \cdot {0,17}^{2} \cdot (y_{1} - y_{0})

...auf die Wurzel hab' ich jetzt keine Lust...

;-)

bernie70 aktiv_icon

11:23 Uhr, 21.07.2009

Hallo Edddi,

du schreibst in der Einleitung die Formel für das Gesamtvolumen mit

... y^{2} . .

. und darunter ...mit

x^{2} ...

.

Was nutzt mir dieses

x^{2}

? Muss ich daraus das

y^{2}

ausrechnen und in die Formel einsetzen?

Liebe Grüße!

Edddi aktiv_icon

14:42 Uhr, 21.07.2009

...weiß ehrlich gesagt nicht was du meinst ???...???

ich habe immer

x^{2} = f (y) = a \cdot y^{2} + b

verwendet.

Und fürs Rotationsvolumen

\int_{y_{0}}^{y_{1}} (a \cdot y^{2} + b) \cdot d y

Normalerweise wäre die Funktion

x = f (y) = \sqrt{a \cdot y^{2} + b}

Das Rotationsvoumen ist dann

\int_{y_{0}}^{y_{1}} Π \cdot x^{2} \cdot d y = Π \cdot \int_{y_{0}}^{y_{1}} {f (y)}^{2} \cdot d y

;-)

bernie70 aktiv_icon

14:58 Uhr, 21.07.2009

Hallo Edddi,

danke für die super schnelle Antwort. Es kann sein, dass ich gerade fürchterlich auf der Leitung stehe. Ich meinte lediglich folgendes:

Du schreibst: Das Gesamtvolumen ist also:

V_{A} = π \cdot \int_{y 0}^{y 1} a \cdot y^{2} \cdot b

mit

x^{2} = a \cdot y^{2} + b

Irgendwie passen diese 2 Ausdrücke nicht ganz zusammen - oder irre ich da?

Liebe Grüße!

Edddi aktiv_icon

15:22 Uhr, 21.07.2009

...doch, das passt...

Machen wir's für's Verständnis mal andersrum...ich neh'm auch mal ein anderes Beispiel.

Standard-Parabel

y = f (x) = x^{2}

Fläche von 0 bis

2 :

A = \int_{0}^{2} y \cdot d x = \int_{0}^{2} y (x) \cdot d x = \int_{0}^{2} x^{2} \cdot d x

...für

x_{0} = 0

ist

y_{0} = 0

...für

x_{1} = 2

ist

y_{1} = 4

Jetzt die Fläche auf der andern Seite der Kurve im Rechteck

x = 2

und

y = 4

Diese müsste ja

2 \cdot 4 - \int_{0}^{2} x^{2} \cdot d x

sein.

A = 2 \cdot 4 - \int_{0}^{2} x^{2} \cdot d x = 8 - {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{2} = 8 - [\frac{8}{3} - \frac{0}{3}] = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}

Oder ich berechne es einfach aus der Sicht eines "Außerirdischen"...er sieht alles verdreht...die y-Achse sieht er als x-Achse (waagerecht) und die x_Achse als y-Achse (senkrecht)...der Funktionsverlauf entspricht x=sqrt(y)...das heißt, er sieht dieselbe Kurve...und da für alle gleiche Natur- als auch mathematische Gesetzmäßigkeiten herrschen, rechnet er die Fläche mit "seinen" Integralen so aus:

x = f (y) = \sqrt{y}

A = \int_{y_{0}}^{y_{1}} x \cdot d y = \int_{y_{0}}^{y_{1}} x (y) \cdot d y = \int_{y_{0}}^{y_{1}} \sqrt{y} \cdot d y

A = \int_{0}^{4} \sqrt{y} \cdot d y = \frac{y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \cdot y \cdot \sqrt{y} |_{0}^{4}

A = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 - \frac{2}{3} \cdot 0 \cdot 0 = \frac{16}{3}

...ooohhh...wie toll...der "Außerirdische" hat das Gleiche raus....

...ist doch auch klar...welche Buchstaben er nimmt spielt doch keine Rolle....

...genau so funktioniert's mit dem Rotationsvolumen.

...Verstanden?

;-)

bernie70 aktiv_icon

15:27 Uhr, 21.07.2009

Hallo Edddi,

danke für die Nachhilfe!

Die "ausserirdische" Sichtweise war sehr hilfreich.

Ich werde mich jetzt gleich noch mal hinsetzen und das Beispiel durchrechnen. Falls auch Du Lust hast, als Ergebnis soll ca.

2444 m^{3}

rauskommen ;-)

Liebe Grüße!

bernie70 aktiv_icon

15:27 Uhr, 21.07.2009

2444 m^{3}

rauskommen ;-)

Liebe Grüße!

Edddi aktiv_icon

15:57 Uhr, 21.07.2009

...ich komm' mit etwas gerundeten Werten auf 2400...passt also....

aber beachte dennoch, das wir KEINE Wanddicke von

0,17

haben, Denn die

0,17

stellen die WAAGERECHTE Wandstärke dar!!!!!!

Ist die Wand ordentlich schräg (45°), wie du ja fasst am Boden hast, beträgt die Wandstärke dort nur noch

\frac{0,17}{\sqrt{2}} = 0,12!!!!!!!

bernie70 aktiv_icon

10:43 Uhr, 22.07.2009

Hallo Edddi,

danke für den Hinweis. Kann man das Volumen einer gleichmässigen Betonhülle überhaupt rechnerisch lösen?

Ich habe trotz Deiner Hilfe noch ein Problem beim Lösen des Integrals nur für das innere Volumen. Die Wurzel zusammen mit dem Exponenten schafft mich! Es geht um diese Formel, die ich versuche zu integrieren, es aber nicht schaffe:

π \int_{y 0}^{y 1} {(\sqrt{a \cdot y^{2} + b} - 0,17)}^{2} d y

Kannst du mir bitte Deine Schritte noch mal zeigen?

Ich hab' das Ganze jetzt mal mit Simpson

(n = 10)

gerechnet und da komme ich auch auf

2410,

was annäherungsmässig auch gut hinkommt.

Danke schon mal im Voraus!

Edddi aktiv_icon

13:20 Uhr, 23.07.2009

...schau dir noch mal meinen 1. Beitrag an...da hab' ich's schon aufgelöst...es ist also "nur" noch der Wurzelterm zu integrieren.

\int \sqrt{a \cdot y^{2} + b} \cdot d y = \frac{y}{2} \cdot \sqrt{a \cdot y^{2} + b} - \frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}} \cdot ln [a \cdot y + \sqrt{a} \cdot \sqrt{a \cdot y^{2} + b}]

...die Konstante hab' ich weggelassen, ist für's bestimte Integral eh' uninteressant, da sie sich auflöst.

;-)

bernie70 aktiv_icon

16:29 Uhr, 23.07.2009

Hallo Edddi,

danke noch mal für die Antwort. Jetzt ist's mir klar. Wenn man das Ergebnis dann sieht, ist's eh' ganz einfach ;-)

Liebe Grüße!

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