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Berechnung der 5 fünften Wrzeln aus komplexer Zahl

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

KeineAhnung2 aktiv_icon

18:27 Uhr, 23.04.2012

Hallo gegeben ist diese Aufgabe:

Gegeben ist die komplexe Zahl

w = 16 \sqrt{2} (1 + i)

Berechnen Sie die 5 fünften Wurzel von w, d.h. die Lösungen der Gleichung

z^{5} = w

Geben Sie die Lösungen z0,...,z4 in Polarkoordinatenform an.

So ich weiß leider gar nicht we ich das machen soll. In unseren Unteragen sind einige Beispiele. In denen der Betrag der Zahl und dann das Argument der Zahl zunächst angegeben wird und dann weitergearbeitet wird. Allerdings weiß ich nicht mal wie ich das herausfinde. Ich weiß das bei dieser Aufgabe das Argument

\frac{π}{4}

ist. Nur wie kommt man darauf? Und wie fährt man dann fort? Mir ist auch nicht klar was hier jetzt der imaginäre und was der reele Teil ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KeineAhnung2 aktiv_icon

19:28 Uhr, 23.04.2012

Habe es mal versucht und habe nun für

z 5 = 32 \cdot e^{i \cdot \frac{π}{4}}

in der Polardarstellung. Wie geht es nun weiter?

pwmeyer aktiv_icon

19:43 Uhr, 23.04.2012

Hallo,

man macht den Ansatz:

z = r \cdot e^{t \cdot i};

dann ist

z^{5} = r^{5} \cdot e^{5 \cdot t \cdot i}

.
Jetzt vergleicht man die Beträge und Argumente:

r^{5} = 32 \Rightarrow r = 2

5 \cdot t = \frac{π}{4} + 2 \cdot k \cdot π, k \in ℤ

Die Vielfachen Lösungen kommen dadurch zustande, dass die komplexe ExponentialFunktion periodisch ist mit

2 \cdot π \cdot i

.

Also folgt:

t = \frac{π}{20} + 2 \cdot k \cdot \frac{π}{5}

mit

k = 0,1,2,3,4

k = 5

wiederholen sich die Lösungen, so dass es insgesamt genau 5 lösungen gibt.

Gruß pwm

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