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Berechnung der Operatornorm

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Vektoren

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12:12 Uhr, 16.05.2011

Hallihallo onlinemathe!

Ich bin neu hier und habe eine Frage bezüglich der Operatornorm. Zur Übung löse ich einige Aufgaben aus Übungsbüchern und hänge gerade bei einer fest. Hier mal die Aufgabenstellung:

Es bezeichne

L : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

eine lineare Abbildung und

A \in M (n, m)

deren Darstellung bezüglich der kanonischen Basen in

ℝ^{n}

und

ℝ^{m}

. Berechnen Sie die Operatornorm

| | A | |

von A jeweils für die Vektornormen

i) {| | \cdot | |}_{1}

und
ii)

{| | \cdot | |}_{2}

.

Nun mein Lösungsvorschlag:

Sowohl im Bildraum als auch im Urbildraum verwendet man die 1-Norm

{| | \cdot | |}_{1} := \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |

.

Nun gilt:

{| | L | |}_{1} = 1

=supremum_(|x|=1)

\frac{{| A \cdot x |}_{1}}{{| x |}_{1}}

=supremum_(|x|=1)

(\sum_{i = 1}^{n}) \frac{| a_{i, j} \cdot x_{i} |}{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |}

=supremum_(|x|=1)

(\sum_{i = 1}^{n}) | x_{i} |

=supremum_(|x|=1)

({| A \cdot x |}_{1})

Mit der Spaltensummennorm

{| | A \cdot x | |}_{1} := max_{j} (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} |

gilt für

A = (a_{i}, j)

(i=1,…,n; j=1,…,m) mit

{| | x | |}_{1} = 1

und

x \in X :

{| | A \cdot x | |}_{1} = max_{j} (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} \cdot x_{i} | \leq max_{j} (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} | \cdot | x_{i} | \leq max_{j} (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} |

Die letzte Ungleichung ist erfüllt, denn

| x_{i} | \leq 1,

{| | x | |}_{1} = \sum_{i = 1}^{n} = 1

Damit folgt

{| | A \cdot x | |}_{1} \leq max_{j} (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} |,

da supremum

{| | A \cdot x | |}_{1}

die kleinste obere Schranke darstellt und überdies

max_{j} (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} |

die obere Schranke von

{| | A \cdot x | |}_{1}

ist.

Weiter bleibt zu zeigen, dass die Abschätzung "scharf" ist. Es soll gelten:

max_{j} (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} \cdot x_{i} | = (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} |,

also

{| | A \cdot x | |}_{1} = {| | A | |}_{1} \cdot {| | x | |}_{1},

wobei

{| | x | |}_{1} = 1

.
Man findet ein

j_{0} = max_{1 \leq j \leq m} (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} |,

das bedeutet

(\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j_{0}} | = max_{j} (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} |

und setzt man nun

x_{i}

:=sign

a_{i, j_{0}}

mit i=1,…,n. Dann gilt mit

{| | x | |}_{1} = 1 :

{| | A \cdot x | |}_{1} = max_{1 \leq j \leq m} (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} \cdot

sign

a_{i, j_{0}} | = (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j_{0}} | = max_{j} (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} | = | | A | |_1 \cdot | | x | |_{1},

wobei

\cdot {| | x | |}_{1} = 1

.
Es folgt also, dass die Operatornorm

| | A | |

für die Vektornorm

{| | \cdot | |}_{1}

die Spaltennorm

{| | A | |}_{1} := max_{1 \leq j \leq m} (\sum_{i = 1}^{n}) | a_{i, j} |

ist.

Ist das so richtig? Für ii) habe ich leider noch gar keine Idee. Könntet ihr mir da bitte helfen.

Vielen Dank schon mal.

Liebe Grüße
mathesternchen

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