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Berechnung der Z-Kraft auf einer ovalen Bahn

Universität / Fachhochschule

Tags: constant, Corioliskraft, Drehzahl, ebene Kreisbahn, oval verformte, veränderlicher Radiusabstand

werner100 aktiv_icon

10:18 Uhr, 14.02.2018

Frage:
Wie berechnet man die Zentrifugalkraft eines um einen festen Drehpunkt aber mit veränderlichem Radius umlaufenden Festkörper, der sich periodisch dem Drehzentrum
nähert aber nachfolgend auch periodisch entfernt, wobei der Radius kontinuierlich
abnimmt oder zunimmt. Wie wirken sich die radialen Abstandänderungen auf den resultierenden Wert der Zentrifugalkraft aus?
Drehfrequenz Omega=const.Maximale Radiusänderung

Δ r (max) = \frac{1}{10} r

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

forecore aktiv_icon

11:16 Uhr, 14.02.2018

Die Zentrifugalkraft berechnet sich durch:

F_{r} = m r ω^{2}

Da sowohl

m

als auch

ω

in deinem Fall konstant sind, sollte sich

F_{r}

auch direkt proportional zur Änderung des Radius

r

verhalten. Falls du eine konkrete Funktion

r (t)

gegeben hast, solltest du die auch einsetzen können, um ein

F_{r} (t)

zu erhalten.

werner100 aktiv_icon

13:20 Uhr, 14.02.2018

Die angegebene Formel für

Fz=

m r

Omega hoch 2

gilt nur für Umläufe mit r=const.
Auf einem Oval lauft der Festkörper mit m=const

z . B

. in einer radialen
Führungsschine aber mit einer Zusatz-Beschleunigung

a (r)

die bei zunehmendem
Abstand vom Drehzentrum auch eine zusätzliche Beschleunigungs-Kraft F(rad) zur
Zentrifugalkraft Fz(r=const) überlagert.
Bei zunehmendem Radiusabstand während des Umlaufs müsste sich die Summe
Summe Fz = Fz(r) - F(rad) ergeben,
weil die Zunahme des Umlaufradius

r + Δ r

der Zentripetal-Beschleunigung ausweicht,
nehme ich an.

Wie siehst Du das?

forecore aktiv_icon

14:23 Uhr, 14.02.2018

Stimmt ... mein Ansatz war zu einfach (und falsch) gedacht.

Jetzt wird es etwas komplizierter und meine Physikkenntisse sind hoffentlich hinreichend dafür. Ich beschreibe das ganze mal in Polarkoordinaten, d. h. es gilt:

\vec{e_{r}} = (\begin{array}{rcl} \cos φ \\ \sin φ \end{array})

und

\vec{e_{φ}} = (\begin{array}{c} - \sin φ \\ \cos φ \end{array})

Dann ist:

\vec{r} = r (φ) \vec{e_{r}}

\frac{d \vec{e_{r}}}{d t} = \dot{φ} \vec{e_{φ}}

\frac{d \vec{e_{φ}}}{d t} = - \dot{φ} \vec{e_{r}}

Damit folgt für Bahngeschwindigkeit und Bahnbeschleunigung:

\dot{\vec{r}} = \dot{r} \vec{e_{r}} + r \frac{d \vec{e_{r}}}{d t} = \dot{r} \vec{e_{r}} + r \dot{φ} \vec{e_{φ}}

\overset{..}{\vec{r}} = (\overset{..}{r} - r {\dot{φ}}^{2}) \vec{e_{r}} + (2 \dot{r} \dot{φ} + r \overset{..}{φ}) \vec{e_{φ}}

In deinem Fall ist ja

\dot{φ} = ω = const.

und somit

\overset{..}{φ} = 0

.
Da du ja am Ende einen Ausdruck haben möchtest, in dem keine Zeit, sondern nur ein

r (φ)

vorkommt, sollte man noch verwenden, dass:

\dot{r} = \dot{φ} \frac{d r}{d φ} = ω \frac{d r}{d φ} \Rightarrow \overset{..}{r} = ω^{2} \frac{d^{2} r}{d φ^{2}}

Somit bekommt man als Bahnbeschleunigung:

\overset{..}{\vec{r}} = (ω^{2} \frac{d^{2} r}{d φ^{2}} - r ω^{2}) \vec{e_{r}} + (2 ω \frac{d r}{d φ} \dot{φ}) \vec{e_{φ}}

Für die Kraft ergibt sich dann:

\vec{F} = m \overset{..}{\vec{r}} = m ((ω^{2} \frac{d^{2} r}{d φ^{2}} - r ω^{2}) \vec{e_{r}} + (2 ω \frac{d r}{d φ} \dot{φ}) \vec{e_{φ}})

Zum Test kannst du ja einfach mal von einem Kreis ausgehen mit

r (φ) = r_{k} = const.

und den Betrag

∣ \vec{F} ∣

berechnen.

werner100 aktiv_icon

15:31 Uhr, 14.02.2018

Du hast meine Frage auf eine DGL in Polarkoordinaten umgeformt, bist Du sicher dass es nicht etwas konventioneller geht - um zu sehen, wie weit Du jetzt richtig liegst.
Forme doch mal den kompletten Term für Fz so um, dass sich Fz=0 ergibt.
Das weitere prüfe ich dann und danke Dir erst mal.
Anstelle von Einheitsvektoren könnte ich auch mit der skalaren Form
gut zu recht kommen.

ledum aktiv_icon

17:02 Uhr, 14.02.2018

Hallo
1. soll das eine Ellipsenbahn, oder eine beliebig gekrümmte Bahn sein nur mit

Δ r \leq \frac{1}{10} \cdot r

?
2. was nennst du "das Drehzentrum? Mittelpunkt der Bahn? von einem Drehzentrum kann man doch nur bei einer Kreisbahn reden?
die Zentripetalkraft ist immer senkrecht zu

\vec{v}

ω

konstant zu halten brauchst du also eine weitere Kraft in Tangentialrichtung. das gilt für jede gekrümmte Bahn .

F_{Z} = 0

hat man doch nur bei geradliniger Bewegung? was meinst du damit

F_{z} 0

zu setzen?
also welche Form hat deine Bahn?

F_{z} = m ω^{2} \cdot r

gilt, wenn

r

der momentane Krümmungsradius ist, den musst du aus deiner bahn berechnen.
Gruß ledum

werner100 aktiv_icon

21:02 Uhr, 14.02.2018

Unter dem genannten Oval ist eine Umlaufbahn zu verstehen , die durch radiale Erweiterung
einer Kreisbahn an einem beliebigen Punkt des Kreises beginnt, also mit Mittelpunkts-Abstand

r

vom Drehzentrum und dann über 180° zunehmend mit dem Mittelpunktsabstand

d = r + \frac{1}{10} r

endet
und von dort wieder um weitere 180°Drehwinkel gespiegelt abnehmend zum Anfangspunkt des Ovals im Abstand

r

vom Drehzentrum weiterführt.
Der Umlaufkörper wird von einer rotierenden Führungschine mit Drehpunkt im Mittelpunkt
des Referenzkreises mit der Drehfrequenz

Omega=const

gedreht und mit einer Führungsrolle am Körper auf der Ovalbahn gehalten.
Die Führung des zylinderförmigen Umlaufkörpers wird also von der rotierenden Schine und der vorgegebenen Oval-Bahn bestimmt.
Wenn die Beschleunigungskraft F(rad) so gross ist wie die Zentrifugalkraft Fz,
also
Fz = F(rad) folgt aus der Überlagerung beider Kräfte
Fz

+

Frad

= 0;

(Ähnlich wie beim Freien Fall eines Festkörpers (im Vakuum) in einem Statischen Kraftfeld Anziehungskraft und Trägheitskraft zusammen gleich NULL ergeben).

Auf dem 2-ten 180°-Sektor des Ovals müsste dann zur Zentrifugalkraft die Radial-
Beschleunigungskraft Frad positiv addiert werden und das ergäbe

Fz

+

Frad = Fz+Fz = 2Fz(r);

Das ganze wäre dann eine Form der Rotation, die eine gerichtete Zentrifugalkraft
erzeugt, was in der Klassischen Mechanik noch nicht beschrieben wurde.

Kann sein - muss aber nicht.

Man könnte nun vorgehen, wie folgt:
Differentialgleichung des Rotorisch Freien Falls aufstellen:

1) m r ω^{2} - m

d²/dt

r = 0;

verkürzt nach

r

auflösen:
ergibt

2) r = r (0) cosh (ω (o) t);

(radiale Fluchtkurve in Polarkoordinaten)

3)

r(0)-Kreis um den Ursprung eintragen und die radiale Fluchtkurve

2)

bei

r (0)

beginnen lassen.

4)

Hat aber den Nachteil, das die Kurve bis 180° Drehwinkel gewaltig zunimmt.

5)

Nun muss man sich mal etwas einfallen lassen (Habe ich gemacht)

6)

Habe zunöchst wieder den Null-Kreis gezeichnet und in seinen Mittelpunkt
ein Strahlenbüschel mit

10

Durchmesser-Strecken gelegt, welche den Kreis
in

20

gleich grosse Sektoren aufteilen.
Dann die Durchmesserstrecken etwas verlängert, dass sie die Kreisumfangslinie
Schneiden.

7)

Erste Linie (beliebig gewählt) mit Tangente in

r

bis zur zweiten Durchmesserlienie
verbunden und im Schnittpunkt mit dieser die Nächste Tangente angelegt, bis diese
die dritte Ddurchmesserlinie erreicht usw

8)

Mit dieser Prozedur ensteht eine Tangenten-Kette über einem Drehwinkel von 180°
die relativ eng am Null-Kreis liegt.
Von 180° bis 360° die ganze Kette in umgekehrter Reihenfolge der Glieder bis
zum Anfang verlängern und damit schliessen.
Der Trick (hoffentlich nicht zu gewagt) liegt darin, dass damit einfach die
Fluchkurve

2)

immer wieder neu angesetzt wird und ihr tangentialer
kräftefreier Verlauf sich jedesmal wiederholt.

Die Tangentenkette lässt sich später noch runden oder mit einer geeigneten Führungsrolle abfahren usw.

Kann man das so gelten lassen - oder ist doch noch ein Problem vorhanden?

Gruss
Werner

ledum aktiv_icon

11:32 Uhr, 15.02.2018

Hallo
deine Bahn wird am besten beschrieben durch eine Ellipse, deren längere Achse das

1,1

fache der kürzeren ist,
Deine "Schiene" scheint so eine Art langer Zeiger zu sein , mindesten

1,1 r

lang der mit gleichmäsigem

ω

umlläuft und schiebt, oder bremst?

F_{z}

ist immer Richtung des Krümmungsmittelpunktes gerichtet, dazu kommt eine tangentiale Kraft, die du aus irgendeinem Grund F_(rad) nennst. Da die 2 Kräfte senkrecht aufeinander stehen , ergibt ihre Summe nie 0 oder

2 F_{Z}

.
anbei ein Bild, der rote Pfeil gibt die Richtung von

F_{z},

der grüne die Richtung der Kraft, die die antreibende Schiene ausübt,
ist die Bahn etwa , was du meinst?
Gruß ledum

werner100 aktiv_icon

16:15 Uhr, 15.02.2018

Hallo -

Die ovalförmige Figur der Tangentenkette ist keine Ellipse, sondern in erster Näherung
eine Fluchtkurve, die sich von r(0°) bis

(r + \frac{1}{10}

r)(180°) in Form einer Tangentenkette
oder eines Tangenten-n-Ecks bis zum maximalen Abstand

r + \frac{1}{10} r

vom Drehzentrum entfernt.
Als Tangentenkette wird deutlicher, dass der Umlaufkörper auf den Tangenten keine
gekrümmten, sondern gerade Bahnabschnitte durchläuft, wo eigentlich keine rückziehende
Zentripetal-Beschleunigung durch die Krümmung der Bahn erzeugt werden kann.

Was ständig auf kreisförmigen Bahnen rotiert, sind die Radiusfesten Punkte auf der
um das Drehzentrum rotierenden Treiberschiene.
Da sich der Umlaufkörper in der Führungs oder Treiberschiene radial frei bewegen kann,
im Unterscied zu einer fest vorgegebenen und gekrümmten Bahn, hat er die Möglichkeit,
der wirkenden Tangential-Beschleunigung zu folgen und sich damit immer weiter vom
Drehzentrum zu entfernen - er weicht gewissermassen der Beschleunigungskraft Fz durch
die Radialflucht nach aussen aus.
Die Summe aus rückziehender Zentripetal-Beschleunigungskraft und expandierender
Tangential-Beschleunigungskraft sollte Null sein.
Ich möchte es noch mal anders sagen:

Die rotierende Radialführung überträgt beim Gleitkontakt des Läufers mit einer
tangentialen Begrenzung, die sich in ihrer Gesamlänge vom Drehzentrum entfernt,
ständig zunehmnede Drehbeschleunigungsabstände vom Drehzentrum auf den Läufer,
dass dieser eine ständig zunehmende Zentrifugalkraft mit einer ständig zunehmenden aber
umgekehrt gerichteten
Radial-Beschleunigungskraft F(rad) zu Null überlagert. Fz

+

F(rad)

= 0

.
(Prinzip von D'Alembert). Fz= Kraft des Schienen-Drehfeldes am drehend verschobenen
Läufer, F(rad)= Kraft am radial verschobenen Läufer.

Bei Deiner Zeichnung ist die Kurve gerundet schon nach einem Drehwinkel von 90° am
maximalen Radiusabstand

r (max) = r + \frac{1}{10} r

angekommen und kehrt diese Tendenz
während der folgenden 90° wieder um - damit ist kein nachhaltiger Fluchtefffekt
über 180° erreichbar. Das Prinzip von d'Alembert ist Dir wohl nicht bekannt.
Ich würde mal vermuten, Maschinenbau hast Du nicht gerade als Studienfach belegt.

Gruss
Werner

ledum aktiv_icon

19:36 Uhr, 16.02.2018

Hallo
nicht nur Maschbauer kennen d'Alembert

(-;

dassauf eine Masse auf einer geraden Strecke keine Zentrifugal- (oder Zentripetal) Kraft wirkt ist klar, es wirkt also nur die Kraft, die die Bahngeschwindigkeit erhöht, wie willst du über die Ecken deiner Bahn kommen, bzw wie willst du sie ohne knick abrunden?
Wenn ich das richtig verstehe, ist es nur ein Gedankenexperiment?, Dann ändert sich ja der Drehimpuls der Masse und du musst nur das zugehörige momentane Drehmoment beschreiben. Was das Gedankenexperiment soll verstehe ich nicht ganz. Wenn du einfach etwas auf einer Kreisbahn laufen lässt (ohne Reibung ist in jedem Moment Zentripetalkraft = Zentrifugalkraft, eines von beiden nennst du F_(rad)
auf den geraden Bahstücken gibt es keine Zentrifugal oder Zentripetalkraft. wenn du die ecken abrundest, wird sie dort groß.
Aber vielleicht verstehe ich zu wenig, was du willst. ich dachte erst es ist eine reale Bahn.
Gruß ledum

werner100 aktiv_icon

12:54 Uhr, 17.02.2018

Im Unterschied zur Kreis-symmetrischen Rotation mit r=const, omega=const,
hat die asymmetrische OVAL-Kreis-Rotation mit

r = f (t), ω

=const
einen veränderlichen Radius dessen Funktionsgleichung bereits aus der
DGL nach dem Prinzip von d'Alembert bestimmte wurde.
Dort gilt in Polarkoordinaten

r = r (0)

cosh (ω (0)

t)

Das daraus abgeleitete Tangenten-n-Eck zwischen 0°bis 180° und rückläufig zwischen
180° und 360=0° mit ca 8 bis

10

Ecken hat die Einschränkung, dass bei einem Umlauf mit
Kontaktrolle oder leicht gefedertem Schleifer in den Ecken ein Gegenimpuls der Form

p(Punkt)

= F t

mit

t \to 0

entsteht, den ich als vernachlässigbaren Störeffekt einstufe.
Mit der Begründung, dass der Vektor der Tangentengeschwindigkeit nicht nach dem
Betrag, sondern nur in der Richtung sehr kurzzeitig relativ zur Umlaufzeit auf der Tangente abweicht. (Punktausdehnung gilt geometrisch gegen Null)

An den 180°-Wendepunkten entstehen je nach Steigung der Rundungskurve (0hne Ecken) jeweils einen Wulst und eine Kerbe.
Diese werden gesondert beschnitten oder gefüllt und stören den Gesamtumlauf nicht.
Die verbleibenden NutzungsSektoren ergeben ein Vorne-Hinten-Verhältnis der verbleibenden Zentrifugalkräfte von annähernd

Fz(vorn) : Fz(hinten)

> 1.5 : 0.5;

als erste Schätzung.

Als Zwillings-Anordung mit gegenläufigen Umdrehungen kann das viele praktische Anwendungen im Transportwesen haben.

Vielleicht sollte ich noch eine Zeichnung anfertigen...

Gruss
Werner

ledum aktiv_icon

18:20 Uhr, 17.02.2018

Hallo

r (t) = r \cdot cosh (ω \cdot t)

meinst du das? Das ist eine Art Spiralbahn? wie kommst du auf die? (dass du d'Alembert sagst weiss ich, sehe das aber nicht.)
kanst du sagen, wie du

a)

auf die Formel kommst,

b)

gilt sie nur bis 180° und wird dann gespiegelt?
was ist

F_{z}

vorne und hinten?
vielleich wäre ne Zeichnung und die Skizze deiner Rechnungen gut?
ohne Reibung kannst du doch auf jeder Kreisbahn ohne äußeren Kraftaufwand ausser der anfangsbeschleunigung transportieren. erzählst du genauer, was du erreichen willst?
Gruß ledum

werner100 aktiv_icon

09:06 Uhr, 23.02.2018

Hallo -

ja natürlich besteht noch Interesse von meiner Seite - nur habe ich etwas Zeit gebraucht
um die Zeichnung vorzubereiten.

r (t) = r (0)

cosh (w

t)

ist eine abgebrochene Spiralbahn um den Drehwinkel 0 bis 180°
und wird ab 180° in umgekehrter Radienabfolge aber fortgesetzter Winkelzunahme bis 360°

(=

0°) weitergeführt.
Sie soll durch das bereits erklärte Tangenten-n-Eck ersetzt werden
und ist bezüglich eines vollen Umlaufs geschlossen.
Sie kann von einem Läufer (im weiteren von einer Läufergruppe) beliebig oft abgefahren werden.
Die dabei auftretenden unterschiedlichen Z-Kräfte am Läufer senkrecht zur
x-Achse sollen sich am Schwerpunkt des Gesamtsystems als gerichtete Antriebskraft

F(schub)= Delta-Fz (0° -360°)

anzeigen.

Gruss
Werner

ledum aktiv_icon

12:51 Uhr, 23.02.2018

Hallo Werner
Deine Bahn habe ich verstanden, warum sie durch gerade Stücke ersetzen, wo du dann die Knicke abrunden musst?
den Satz "Die dabei auftretenden unterschiedlichen Z-Kräfte am Läufer senkrecht zur
x-Achse sollen sich am Schwerpunkt des Gesamtsystems als gerichtete Antriebskraft "
dagegen nicht, warum senkrecht zur x-Achse? Was nennst du den Schwerpunkt des Gesamtsystems, was Z-Kraft?
Wenn man das Ding (ohne Reibung) einmal auf eine Geschwindigkeit anstößt (bei Winkel 0 auf

v_{0}),

würde es an der entferntesten Stelle etwas langsamer laufen, am 180° Punkt muss man dazu den Knick noch beseitigen. Deine Anschubschiene muss also nur die Umlaufgeschwindigkeit auf etwa

v = v_{0} \cdot 1,1 r

erhöhen, und dann wieder abbremsen.
Was ist der Sinn der Vorrichtung?
Gruß ledum

werner100 aktiv_icon

17:31 Uhr, 24.02.2018

Hallo -

Die Tangentenkonstruktion soll zwei Dinge zeigen:

1)

die Sprirallbahn mit zunemendem Radius enthält Zentrifugalkraftfreie Abschnitte
oder Anteile weil die als Geradlinige Anteile in der Bahn enthalten oder überlagert
sind

2)

der Gesamtzuwachs des Radius 0 bis 180° ist reduzierbar
je mehr Tangenten die Kette enthält.

Einigt man sich zunächst auf eine Radiale Abstandzunahme von

r(180°)=

1.2 r

was weniger Knickpunkte bedeutet, so besteht der nächste Schritt darin, eine solche Kette durch eine Exzentrische Kreisbahn mit neuem Mittelpunkt zwischen r(0°) und r(180°)
(also auf der x-Achse) zu ersetzen, womit auch die angestrebte Rundung erfüllt ist.
(muss man sich mit Zirkel und Lineal mal vor Augen führen)

Spätestens damit wird die Spiralbahn durch 2 exzentrische Halb-Kreisbögen abgelöst und
zwar bezogen auf den Drehmittelpunkt des Referenz -oder Grundkreises.
Dieser bleibt weiterhin als Mittelpunkt des Drehfeldes erhalten.

Läuft nun ein Körper mit der exzentrischen Bahnführung um den Mittelpunkt des Grundkreise zwangsweise um,(z.B. mit motorisch angetriebener Radialschiene) so wirkt auch auf diesen Körper abwechselnd eine radiale Verlängerung oder Verkürzung zu seiner weiterhin konstant zu haltenden Winkelgeschwindigkeit

(w),

was natürlich eine veränderliche bzw zunehmende oder Abnehmende Bahngeschwindigkeit bewirkt. Diese ist mit dem Auftreten von Corioliskräften verbunden, die senkrecht zur Radialbewegung des Körpers gerichtet sind.
Der Gesamtschwerpunkt des Umlaufkörpersystems aus Stator, motorische Umlaufschiene und Umlaufkörper soll dabei als Gesamtschwerpunkt des Systems angesehen werden.

Wobei die Rückwirkungskräfte auf diesen Gesamtschwerpunkt im Sinne einer gerichteten
oder ungerichteten Antriebskraft

F(schub)= Fz(t,r)

gesucht werden.

Gruss
Werner

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