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Berechnung der größten Maschienenzahl für 128-Bit

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Tags: Sonstig

Schurli aktiv_icon

11:05 Uhr, 17.02.2016

"Ein 128-Bit System reserviere 112 Bit für die Mantisse und 15 Bit für
den Exponenten. Berechnen Sie bzw. geben Sie eine Formel an, die die
grösste Maschinenzahl für das 128-Bit System ergibt und begründen
Sie Ihre Antwort."

Min Problem hier ist, dass es fast keine verständliche Literatur dazu gibt, die die Formeln die sie verwenden auch wirklich (anschaulich) erklären.

Nach langem Suchen im Netz hab ich folgende Formel gefunden:

M = (N - N^{1 - T}) N^{e_{m a x}},

wobei gilt

N . . .

Basis des Zahlsystems

e . . .

Exponent

t . . .

Mantissenlänge

Aber die Angaben die hierfür nötig sind, wurden doch in der Angabe nicht geliefert!?
Ich weiß ja nichtmal in welchem Zahlsystem der Dozent uns das ausrechnen lassen möchte.
Außerdem: Wenn ich Größe für Mantisse und Exponent addieren, erhalte ich 127 und nicht 128 Bit. Wie ist diese (paradoxe) Diskrepanz zu erklären?

Würde mich auf Hilfe sehr freuen! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Unwuerdiger aktiv_icon

13:27 Uhr, 17.02.2016

127 + 1

Bit für das Vorzeichen, da Maschinenzahlen die durch Gleitkommazahlen dargestellt werden, auch ins negative abgebildet werden können. ;-)

Schurli aktiv_icon

14:21 Uhr, 17.02.2016

Erstmal danke dir für diesen Fakt, das ist nun klar geworden.

Wie überlegt man sich nun eine Formel für die größte Maschienenzahl die die Angabe erlaubt? Wie kommt man da auf Formeln. Kannst du mir da paar Ideenhinweise geben? :-)

DerDepp aktiv_icon

10:48 Uhr, 18.02.2016

Hossa :-)

Die insgesamt 128 Bits teilen sich wie folgt auf:

\underset{1 Bit}{\underset{⎵}{Vorzeichen}} \underset{15 Bits}{\underset{⎵}{Exponent}} \underset{112 Bits}{\underset{⎵}{Mantisse}}

Die maximale Zahl ist positiv

\underset{1 Bit}{\underset{⎵}{0}} \underset{15 Bits}{\underset{⎵}{Exponent}} \underset{112 Bits}{\underset{⎵}{Mantisse}}

hat den maximal positiven Exponenten

\underset{1 Bit}{\underset{⎵}{0}} \underset{15 Bits}{\underset{⎵}{011111111111111}} \underset{112 Bits}{\underset{⎵}{Mantisse}}

und die maximal mögliche Mantisse

\underset{1 Bit}{\underset{⎵}{0}} \underset{15 Bits}{\underset{⎵}{011111111111111}} \underset{112 Bits}{\underset{⎵}{111111 \dots 1}}

Die Mantissen-Bits werden immer normalisiert. Das heißt, führende Null-Bits in der Mantisse werden eliminiert, indem man die Mantisse so lange nach links schiebt und dabei den 2er-Exponent immer um 1 vermindert, bis vorne das erste 1-Bit rausfällt. Also wäre z.B.

0.37 5_{10}

in Binärdarstellung:

Exponent

0000

(dezimal 0) Mantisse

0.01100 \dots

(

0.2 5_{10} + 0.12 5_{10}

)
Exponent

1111

(dezimal -1) Mantisse

0.11000 \dots

(

0 . 5_{10} + 0.2 5_{10}

)
Exponent

1110

(dezimal -2) Mantisse

1.1000 \dots

(

1_{10} + 0 . 5_{10}

)

Die 112 Mantissen-Bits von oben sind also im Prinzip die "Nachkomma-Bits" von einem davor virtuell gedachten "1.". Die größtmögliche darstellbare Zahl ist also:

Exponent

011 1111 1111 111 1_{2} = 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots 2^{13} = 2^{14} - 1 = 1638 3_{10}

Mantisse

1 . \underset{112 Bits}{\underset{⎵}{1111 \dots 1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{112}} = \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{113}}{1 - \frac{1}{2}} \approx 2

Mein Taschenrechner zeigt beim Ausrechnen der geometrischen Reihe eine 2 an. Der Wert sollte aber irgendwas Winziges unter 2 sein. Zusammengebaut ist also die gesuchte Maximalzahl:

2 \cdot 2^{16383} \approx 1.1897 \cdot 1 0^{4932}

Schurli aktiv_icon

19:36 Uhr, 29.02.2016

Hallo "DerDepp"!

Du hast mir wirklich sehr geholfen und mir das ganze verständlicher gemacht! Vielen Dank für diese Schreibarbeit, Wahnsinn!! :O

Dankeschön:-)

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