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Berechnung des Tastverhältnis eines Impulses

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Folgen und Reihen

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PeterMathe

10:43 Uhr, 26.06.2019

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Hallo,
folgende Aufgabe:
Eine Spannung verläuft periodisch in Form rechteckiger Impulse mit den Werten

+ U

und

- U

Für welche Tastverhältnisse (Dauer des höheren der Spannungswerte zur Dauer der Periode) ist die
Amplitude der Grundschwingung gleich der Impulshöhe

U

?

Das einzige was ich weiß, ist das man es irgendwie mit Fourier-Reihen löst, allerdings weiß ich nicht wie.
Wie kann ich also anfangen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

HAL9000

13:49 Uhr, 27.06.2019

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Naja, zuerst bastelst du eine

2 π

-periodische Funktion mit dem (zunächst noch offenem) Tastverhältnis

D \in [0, 1]

, da muss also Zeitdauer

2 π D

lang Spannung +U anliegen, das leistet z.B. Funktion

f (t) = {\begin{aligned} - U & für - π < t \leq (1 - 2 D) π \\ + U & für (1 - 2 D) π < t \leq π \end{aligned}

.

Und für dieses

f

berechnest du die Fourierreihe - halt, nicht die ganze Reihe, es genügen die Koeffizienten

a_{1} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (t) \cos (t) d t

b_{1} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (t) \sin (t) d t

der Grundfrequenz. Die Forderung ist nun, dass die Amplitude

\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}}

dieser Grundschwingung gleich

U

ist - wenn du alles fleißig durchrechnest, bekommst du gemäß dieser Bestimmungsgleichung dann

D

heraus.

PeterMathe

19:25 Uhr, 27.06.2019

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Vielen dank, eine Frage habe ich noch, wie kommst du auf die

2 π

?

Antwort

HAL9000

20:16 Uhr, 27.06.2019

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Wenn du es gern komplizierter magst, kannst du auch eine andere Periode

T

zugrunde legen. Aber die Antwort

D

ist davon unabhängig, also habe ich die Periode gewählt, wo die Koeffizientenformeln am einfachsten auszurechnen sind, mit

\cos (t)

statt

\cos (\frac{2 π}{T} t)

im Integral usw.

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