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Berechnung des Umfangs eines 12-Ecks
Schüler Fachschulen, 9. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 18:29 Uhr, 02.03.2007  |
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Wie berechnet man den Umfang eines regelmäßigen 12-Ecks in Abhängigkeit vom Radius des Umkreises? |
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Anschauung: Ein regelm. 12-Eck besteht aus 12 ´Torten´ mit den 2 Seiten r (= Radius des Umkreises) und u (Kreissehne, sodass U= 12u der Umfang ist) und einem Winkel g= 360/12 (zw. den beiden r)... bitte zeichnen. Kosinussatz besagt: u²= r² + r² -2r*r*cos(g)= .. = 2r²{1-cos(g)} => u= r* √{2- 2*cos(g)} => U= 12u= 12r* √{2- 2*cos(g)} cos(g) hat für g=30° einen besonderen Wert... (Dein Einsatz ´Al Rookie´) ;-) Womit die Frage durch ist. -Steele- _________________________ Edit(22:40 02.03.2007) und PS.: ´Al Rookie´ war offenbar nach dem Absatz der Hausaufgabe ins Wochenende ausgeritten (und kommt wohl erst SO-Abend zurück) oder cos(30°)= (1/2)* √3 =sin(60°) war ihm fremd. Trotzdem will ich U= 12r* √{2- √3} nicht verschweigen... wohlbemerkt eine verschachtelte Wurzel. |
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anonymous 13:21 Uhr, 03.03.2007 |
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danke leute! aber geht das nicht auch ohne den cosinus-satz? also wenn man ein Sechseck konstruiert, daruas ein zwölfeck und dann den umfang in abhängigkeit von a berechnet? Muss irgendwie nur mit dem pythagoras gehen... |
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anonymous 00:30 Uhr, 04.03.2007 |
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... Du könntest das folgendermaßen probieren: Zeichne Dir mal ein Sechseck auf. Bei dem kennst du die Länge jeder Seite - eh klar, einfach der Radius vom Kreis. Und ein Zwölfeck hat auf jeden Fall dieselben Eckpunkte (und zwischen je zwei einen weiteren). Du kannst Dir die Länge von einer Ecke des 6-Ecks zu dem dazwischen liegenden Eckpunkt aber leicht überlegen: der zusätzliche Punkt liegt rechtwinkelig genau über dem Mittelpunkt des 6-Eck-Seite; und wie weit ist dieser vom 6-Eck-Punkt entfernt? Naja, da kannst Du jetzt leicht den Pythagoras bemühen. Die eine Seite ("a") ist r/2, und die Entfernung vom Kreis zur 6-Eck-Seite ("b") ist r-(Höhe des gleichseitigen Dreiecks mit Seite r) - und voilá, Du hast eine Seite berechnet, nämlich einfach aus a^2+b^2=c^2. Und den Wert jetzt mit 12 zu multiplizieren sollte keine Herausforderung mehr sein. Sorry für die umständliche Beschreibung, es ist schon spät - aber das Ergebnis stimmt, habs grade nachgerechnet. |
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