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Berechnung einer Kreisfläche mittels Integration

Universität / Fachhochschule

Tags: Integralfunktion, Kreisfläche

Pocolino aktiv_icon

17:42 Uhr, 04.03.2016

Moin moin liebe Leute. Ich bin kein Mathematiker sondern nur "doofer" BWLer, aber ich liebe Mathematik. Egal, kommen wir zur Sache. Wie das manchmal so ist, war mir die letzten Tage ziemlich langweilig, also dachte ich mir so "Hey, warum nicht einfach mal versuchen die Fläche eines Kreises ohne Kuchenzahl zu berechnen. Leider komme ich dabei nicht auf des Rätsels Lösung und so bitte ich an dieser Stelle um Hilfe vom Rat der Weisen:

Mein erster Gedanke war: Was ist ein Kreis? Naja ein Kreis zeichnet sich dadurch aus, dass alle Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben, gemeinhin als Radius bekannt. Was heißt das für mich? Naja, wenn ich mir so einem Kreis in einem Koordinatensystem vorstelle, müsste die Summe der Quadrate der

X

und der

Y

Position dem Quadrat des Radius entsprechen (Satz des Pythagoras). Schon hätten wir nach kurzer Umstellung eine nette Funktion:

r^{2} = x^{2} + y^{2}

y = {(r^{2} - x^{2})}^{0,5}

Nun war mein Gedanke, OK der Querschnitt durch den Kreis muss ja dann das doppelte von

Y

sein, also

Q = 2 \cdot {(r^{3} - x^{2})}^{0,5}

Nun brauche ich einfach nur die Fläche zwischen dem negativen und positiven Radius und Tadaaa (so dachte ich das zumindest), also Integration:

\int_{- r}^{r} 2 \cdot {(r^{2} - x^{2})}^{0,5} d x

Oh Gott wie soll ich das denn nun integrieren? Ahhhh, Substution war das Zauberwort, also einfach aus r^2-x^2´ein

z

gemacht

z = r^{2} - x^{2} \to x = {(r^{2} - z)}^{0,5}

Nun muss ich natürlich aus dem

d x

ein

d z

ermitteln, also schnell den Spaß abgeleitet:

\frac{d z}{d x} = - 2 x \to d x = \frac{1}{- 2 x} d z \to d x = \frac{1}{- 2 \cdot {(r^{2} - z)}^{0,5}} d z

Mein Herz schlug höher voller Vorfreude auf den Fieldspreis:

\int_{- r}^{r} 2 \cdot {(z)}^{0,5} \cdot \frac{1}{- 2 \cdot {(r^{2} - z)}^{0,5}} d z \to \int_{- r}^{r} - {(z)}^{0,5} \cdot \frac{1}{{(r^{2} - z)}^{0,5}} d z \to \int_{- r}^{r} - {(z)}^{0,5} \cdot {(r^{2} - z)}^{- 0,5} d z

Und nun stand ich da...... ahhhhhh partielle Integration, wie war das noch?
f'g=fg-fg'

OK dann nehmen wir doch das

- z^{0,5}

als

f'

und das

{(r^{2} - z)}^{- 0,5}

als

g

. Gesagt, getan:

- \frac{2}{3} \cdot z^{\frac{3}{2}} \cdot {(r^{2} - z)}^{- 0,5} - (- \frac{2}{3} \cdot z^{\frac{3}{2}}) \cdot (- 1) \cdot (- 0,5) \cdot {(r^{2} - z)}^{- \frac{3}{2}}

\to - \frac{2}{3} \cdot z^{\frac{3}{2}} \cdot {(r^{2} - z)}^{- 0,5} + \frac{1}{3} \cdot z^{\frac{3}{2}} \cdot {(r^{2} - z)}^{- \frac{3}{2}}

Muhahahaha und jetzt einfach nur noch das

z

mit

r^{2} - x^{2}

ersetzen

\to - \frac{2}{3} \cdot {(r^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot {(r^{2} - (r^{2} - x^{2}))}^{- 0,5} + \frac{1}{3} \cdot {(r^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot {(r^{2} - (r^{2} - x^{2}))}^{- \frac{3}{2}}

Und nun beginnt das Geheule. Wie ihr sicherlich schon längst gesehen habt, wenn ich jetzt das Integral mit

- r

und plus

r

ermittle kriege ich als Ergebnis

0,

weil

r^{2} - r^{2}

leider Gottes 0 ergibt..... Und ich sehe meinen Fehler einfach nicht.

\to - \frac{2}{3} \cdot {(r^{2} - r^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot {(r^{2} - (r^{2} - r^{2}))}^{- 0,5} + \frac{1}{3} \cdot {(r^{2} - r^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot {(r^{2} - (r^{2} - r^{2}))}^{- \frac{3}{2}}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Integralfunktion

Sams83 aktiv_icon

21:58 Uhr, 04.03.2016

Hallo,

habe jetzt nicht jeden einzelnen Schritt bis zum Schluss geprüft.
Allerdings hast Du glaube ich einfach die partielle Integration falsch:

\int (f' g) = f \cdot g - \int (f \cdot g')

Das Integral rechts hast Du mal locker unterschlagen....

Tipp: Nutze Substitution

x = r \cdot sin (φ)

für Dein Anfangsintegral anstatt der von Dir vorgeschlagenen Substitution.

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