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Berechnung einer Matheaufgabe

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: kubisch, Splines

Sebbe90 aktiv_icon

12:33 Uhr, 03.05.2010

Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen?
Ist gar nicht so leicht, das zur berechnen! Wer eine Antwort hat oder die Aufgaben komplett berechnen kann, kann mir die Lösung auch an sebastian0710@gmx.de schicken!!!

Vielen Herzlichen Dank.

Hier die Aufgaben:

Beschreibung:
Für den Bau einer Bahnlinie soll zwischen zwei geradlinigen Gleisstücken ein Übergangsbogen von A nach

B

entworfen werden. Die Maße betragen

a = 400 m, b = 500 m, c = 100 m, d = 100 m, e = 600 m

und

f = 1000 m

. Gesucht ist eine optimale ganzrationale Funktion möglichst kleinen Grades für den Übergangsbogen.

Anmerkung meinerseits: Punkt A liegt bei

(x = \frac{412,31}{y} = 100)

und

B

bei

(X = \frac{900}{y} = 600)

. Die Steigung im Punkt A beträgt

m = 1,0375

und bei

B

liegt sie bei

m = 4 .

Aufgabe 1: Nennen sie Kriterien, die jene gesuchte optimale Funktion erfüllen sollte und leiten Sie aus dieser mathematische Bedingungen her, die dieses Funktion zu erfüllen hat. Berechnen sie anschließend eine solche optimale Funktion.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

13:13 Uhr, 03.05.2010

Hallo
du bist sehr zurückhaltend, die Begriffe

a - f,

die du nutzt, auch zu erklären. Nun denn, aus den restlichen Angaben habe ich mir mal folgende Skizze zusammengereimt, das sollte genügen

(\in

der Hoffnung, dass ich dich recht verstanden habe.

Nun, du suchst eine Polynomfunktion, die folgende Bedingungen erfüllt:

a)

die Funktion soll den Punkt A treffen

b)

die Funktion soll den Punkt

B

treffen

c)

die Funktion soll in Punkt A tangential in die Gerade übergehen

d)

die Funktion soll in Punkt

B

tangential in die Gerade übergehen

Das sind 4 Bedingungen. Das spricht dafür, eine Polynomfunktion dritten Grades zu wählen, denn die hat 4 Parameter:

y = C 1 \cdot x \cdot x \cdot x + C 2 \cdot x \cdot x + C 3 \cdot x + C 4

y' = 3 \cdot C 1 \cdot x \cdot x + 2 \cdot C 2 \cdot x + C 3

a)

100 = C 1 \cdot 412 \cdot 412 \cdot 412 + C 2 \cdot 412 \cdot 412 + C 3 \cdot 412 + C 4

b)

600 = C 1 \cdot 900 \cdot 900 \cdot 900 + C 2 \cdot 900 \cdot 900 + C 3 \cdot 900 + C 4

c)

1.0375 = 3 \cdot C 1 \cdot 412 \cdot 412 + 2 \cdot C 2 \cdot 412 + C 3

d)

4 = 3 \cdot C 1 \cdot 900 \cdot 900 + 2 \cdot C 2 \cdot 900 + C 3

Und siehst du, jetzt hast du vier Gleichungen für die vier Unbekannten...

Sebbe90 aktiv_icon

10:54 Uhr, 04.05.2010

Was für eine Gleichung bekomme ich, wenn ich Bedingung

c

und

d

weglasse? Ich soll ja nur eine Funktion aufstellen, die im Prinzip durch die beiden Punkte geht! Wie sei weiter verläuft, ist ja dann egal, da wir ja nur eine Verbindung der Punkte a und

b

suchen.

Wenn die Frage beantwortet wird, kann jemand das Gleichungssystem gleich lösen? Weil das ist ja nicht gerade leicht und mein Derive spinnt im momemt total! Wäre echt nett!

Vielen dank.

anonymous

12:12 Uhr, 04.05.2010

Die einfachste Verbindung zwischen A und

B

ist eine Gerade.
Ich bezweifle aber, dass das so gemeint ist...

Sebbe90 aktiv_icon

13:56 Uhr, 04.05.2010

Nein, keine gerade. Auf jeden Fall eine ganzrationale Funktion. Die Frage ist, entsteht diese Funktion, wenn ich Bedinungen

c

und

d

weglasse oder brauche ich zwangsläufig die von dir genannten Bedingungen

c

und d? Weiterführende Aufgaben dazu sind mit kubischen Splines und da werde ich diese ja letzten Endes brauchen.

Also wenn ich keine gerade nehme, sondern eine Kurve, dann brauche ich diese vier Bedingungen?
Kannst du mir vielleicht eine der vier Gleichungen mal ausrechnen? Weil ich stehe hier im moment noch total auf dem Schlauch!!!
Danke

anonymous

12:15 Uhr, 05.05.2010

Lieber Sebastian!
Was willst du eigentlich ??

Wenn ich die Bedingungen

c)

und

d)

weglasse, dann ignoriere ich den tangentialen Übergang in den Punkten A und

B .

Dann kann ich als Verbindung zwischen A und

B

> z . B

. eine Gerade wählen,

> z . B

. Parabeln wählen, ich habe in der Anlage mal einige Beispiel-Parabeln eingezeichnet.
Auf jeden Fall entsteht durch die Ignoranz der tangentialen Übergänge grundsätzlich ein Knick im Schienenverlauf. Und ich denke, das ist für die Bahnfahrt nicht förderlich - und für diese Mathe-Aufgabe vermutlich nicht beabsichtigt.

Ferner, wenn ich die Bedingungen

c)

und

d)

weglasse, dann wird die Aufgabenstellung vieldeutig. Dann kann man - wie man sieht - unendlich viele Parabeln einzeichnen, und unendlich viele ganzrationale Funktionen

3 ., 4

. oder höherer Ordnung...

Ich denke, die Bedingungen

c)

und

d)

machen Sinn. Deshalb wollte ich sie auch nicht weglassen.

"Gesucht ist eine ganzrationale Funktion möglichst kleinen Grades"
Nun denn, wir haben vier Bedingungen

a - d)

. Folglich brauchen wir eine Funktion mit vier Parametern. Und wir suchen eine Funktion möglichst kleinen Grades. Also ich denke immer noch, das ist die Parabel 3. Ordnung (mit den Parametern

C 1, C 2, C 3, C 4)

wie oben beschrieben.

Oder anders rück-gefragt: Wenn du den tangentialen Übergang ignorieren willst, was stört dich dann an der Gerade?
Das wäre dann die ganzrationale Funktion möglichst kleinen Grades durch die Punkte

A + B .

Sebbe90 aktiv_icon

14:43 Uhr, 05.05.2010

Erstmal ein Danke für die Antwort denn das hatte ich noch gar nicht bedacht gehabt!
Ok, für eine Bahnstrecke wäre ein Knick definitiv nicht förderlich.
Weitere Frage zu dieser Frage: bei dir steht

C 1 = a, C 2 = b,

etc. pp??? Dann bekomme ich nur ziemlich große Werte für

a, b, c

und

d

heraus! Vielleicht hat iwer das mal nachgerechnet und ich irre mich, dann möge man mir dies sagen!

Eine weitere Frage des Arbeitsblattes ist:

Frage 2: Die Problemstellung der ersten Aufgabe lässt sich beliebig verallgemeinern. So soll

z . B

. durch fünf vorgegebene Orte eine möglichst optimale Bahntrasse gelegt werden.
Als mathematisches Verfahren wird die so genannte " Spline- Interpolation" ( kubische Splines) verwendet. Erklären Sie diese Methode unter Verwendung der mathematischen Fachsprache und beurteilen sie, ob sich mit dieser Methode " optimale Funktionen" im Sinne der ersten Aufgabe bestimmen lassen!

Vielleicht hat irgendwer im Internet schonmal eine gute Erklärung dafür gefunden, die man auch leicht verstehen kann. Das, was ich bisher bei google gefunden habe, ist

z . T

. schwer verständlich oder nicht ausreichend.
Wäre also ganz schön, wenn mir jemand entweder eine gute Internetadresse nennt oder vielleicht sogar die Frage beantwortet!

Vielen dank!

anonymous

14:53 Uhr, 05.05.2010

Ach ja, die Koeffizienten der Polynomfunktion...
So viel sei verraten:

| C 4 | > 1000 .

| C 1 | < 0.0001

| C_{i + 1} | > 100 \cdot | C_{i} |

Mehr will ich nicht verraten, weil ich meine, ich soll ja nicht deine Hausaufgaben machen.
Aber wenn du eine Lösung hast, mach doch einfach die Kontrolle...

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16:34 Uhr, 05.05.2010

Nein, ich meine mit

C 1 = a

ja keine Zahl, sondern die die Form einer Funktion dritten Grades ist ja ax^3+bx^2+cx+d.

Ist also bei dir

C 1 = a, C 2 = b, C 3 = c

und

C 4 = d

?
Ja wenn ich das ausgerechnet habe, schicke ich die Lösung mal rein.

anonymous

16:42 Uhr, 05.05.2010

Ja, so hatte ich es oben beschrieben:
y=C1⋅x⋅x⋅x+C2⋅x⋅x+C3⋅x+C4

Sebbe90 aktiv_icon

18:24 Uhr, 05.05.2010

Für Gleichung

d

berechnet mir Dervive folgende Werte:

a = - 83

durch

194400000, b = 1

geteilt durch

450

und

c = 83

durch

80

Setze ich diese Werte in die Gleichung ein, bekomme ich heraus, dass die Gleichung wahr ist. Aber was mache ich nun mit den ganzen Werten, wenn ich diese ausgerechnet habe? Wie verfahre ich dann weiter? Bei Gleichung a zum Beispiel habe ich natürlich ganz andere Werte. Wie baue ich mir jetzt die Gleichung?

anonymous

18:37 Uhr, 05.05.2010

Also meine Lösung lautet anders.

Du sagst, für Gleichung

d)

hast du obige Lösung erhalten ???
Und diese stünde im Wiederspruch zu Gleichung a ???

Ich meine, es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem,
bestehend aus 4 Gleichungen
und 4 Unbekannten (nämlich

C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4};

oder du hast sie vielleicht

a, b, c, d

benannt).

Eine Gleichung allein kann keine Lösung ergeben! Erst alle vier Gleichungen gemeinsam ergeben einen Sinn (eine Lösung) für die vier Unbekannten.

Ich kenne das Programm derive nicht. und ich empfehle im Zweifelsfall einfach mal Papier und Bleistift zu nehmen...

Sebbe90 aktiv_icon

21:45 Uhr, 05.05.2010

Also Derive ist ein Matheprogramm, damit kann man im Prinzip alles mathematische ausrechnen, Tabellen zeichnen, etc.
Ich habe mir also ein Programm aus Derive genommen und habe die vier Gleichungen dort reingestellt und nach

a, b, c, d

auflösen lassen.

Dabei kam raus:

a = - 1800 b + c - 4

geteilt durch

2430000

b = - 2430000 a + c - 4

geteilt durch

1800

c = - 509232 a - 824 b + 83

durch

80

d = 83

durch

80

Hast du das auch raus? Wenn nicht, bitte schicke mir doch mal deine Lösung und wie du darauf kommst. Weil Derive ist das perfekte Programm, um sowas auszurechnen und letztlich habe ich bei

a, b

und

c

jeweils ein Teil einer anderen Gleichung, sodass diese am Ende unendlich lang und überhaupt nicht( also verdammt schwer) zu lösen ist!

anonymous

12:26 Uhr, 06.05.2010

Programme sind dann perfekt, wenn man auch ohne sie auskommt.

Sebbe90 aktiv_icon

20:08 Uhr, 06.05.2010

Jetzt mal eine andere Frage, da man sich hier ja wirklich auszukennen scheint.

Aufgabe 3: Die folgengen fünf Orte lassen sich in einem Koordinatensystem durch folgende Punkte verorten:
Bredelar

B (x = 0, y = 0),

Giershagen

G (x = 1, y = 1),

Canstein

C (x = 2, y = 3),

Massenhausen

M (x = 3, y = 4)

und Arolsen

A (x = 5, y = 5)

. Diese Orte sollen durch eine Bahnstrecke miteinander verbunden werden. Bestimmen sie den Verlauf der Bahnstrecke mithilfe kubischer Splines.

Das ja alles noch schön und gut, denn ich muss das zeichnen und nicht rechnen. Mein Problem kommt jetzt:

Aufgabe 4: Die eben genannten Punkte sollen jetzt nicht durch eine Bahnstrecke verbunden, sondern an die Gleisnetze in Bredelar und Bad Arolsen angebunden werden( wobei man Bredelar außer acht lassen kann( denke ich), da diese ja Ursprung ist, das Gleisnetz von Bredelar habe ich aber mal mit in die Zeichnung gemacht). Untersuchen sie die Auswirkung dieses neuen Sachverhalts auf die zu bestimmende Splinekurve.

Das Gleisnetzt von Bad Arolsen hat laut Aufgabe die Funktion

y = - x + 10

. Verläuft daher auch durch Bad Arolsen. Der Spline, den ich erstellen muss, wird sicher daher ja verändern, da er mit dieser Funktion

y = - x + 10

weiterverlaufen muss. Wie bringe ich dieses in die Gleichung mit ein?

Wie man der Zeichnung entnehmen kann, würde ja der Spline von

d

nach

e

ganz normal gerade verlaufen und jetzt muss er sich durch diese Bedingung eben an die Funktion

y = - x + 10

anschmiegen.

Vielen Dank schonmal für die Hilfe!

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