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Berechnung einer Schnittgeraden mit Ebenen in Norm

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Ebene, Normalenform, Schnittgerade, zweier

anonymous

11:59 Uhr, 12.04.2008

Hi!

Wie berechnet man die Schnittgerade, wenn beide Ebenen in Normalenform vorhanden sind ohne umformen in andere Ebenenformen?

bitte erläutert mir das an folgendem Beispiel:

Ich schreibe die Vektoren nebeneinander:

E(1):Vekt.(x)*(4/1/8)=7

E(2):Vekt.(x)*(4/1/1)=3

Wie geht man vor?

mfg

moritz

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Ebene - Ebene

MBler07 aktiv_icon

12:19 Uhr, 12.04.2008

Hi

erstmal zu deiner Schreibweise:
Für mich sieht das mehr nach Koordinatenschreibweise aus, da ich das ganze direkt skalar ausmultiplizieren kann:

4 \cdot x_{1} + y + 8 \cdot z = 7

allgemein:

n_{1} \cdot x + n_{2} \cdot y + n_{3} \cdot z = d

Wogegen die Normalenform so aussieht:

(x - p) \cdot n = 0

wobei

p

ein Punkt auf der Ebene ist.

Für die Berechnung der Schnittgerade brauchst du auf jeden Fall einen Schnittpunkt und die beiden Normalenvektoren der Ebenen.
Diese benutzt du, um einen weiteren Vektor zu berechnen der senkrecht auf beiden ist (nach der Form:

a \cdot b = 0) .

Hast du schonmal was vom Vektor- oder Kreuzprodukt gehört und kennst dich damit aus? Das würde weitere Erklärungen vereinfachen.

Grüße

anonymous

13:58 Uhr, 12.04.2008

hi!

ja, ich kenne das Kreuxprodukt.

Wie errechne ich denn so den Schnittpunkt?

Die Berechnung des Richtungsvektor ist mir, denke ich klar:

${\vec{n}}_{1} \times \vec{n_{2}} = {\vec{v}}_{g}$

das ist doch richtig?!

mfg

moritz

MBler07 aktiv_icon

14:35 Uhr, 12.04.2008

Ja, die Berechnung des Richtungsvektors der Schnittgeraden ist richtig.

Den Schnittpunkt berechnest du einfach durch gleichsetzen der beiden Ebenen. Die erste durch 7 geteilt und die zweite durch 3. Dann steht bei beiden eine

1 :

\frac{4 \cdot x + y + 8 \cdot z}{7} = \frac{4 \cdot x + y + z}{3}

\to x = - \frac{1}{4} \cdot y + \frac{17}{16} \cdot z

Da du nur eine Gleichung für drei Unbekannte hast, musst du zwei als Variablen setzen. Ist auch logisch, da es ja unendlich viele Schnittpunkt gibt.
Daraus folgt für diese:

S_{s, t = (- \frac{1}{4} \cdot t + \frac{17}{16} \cdot s | t | s)}

z . B .

S_{1,1} = (\frac{13}{16} | 1 | 1)

Zusammen mit deinem Richtungsvektor hast du damit die Schnittgerade der beiden Ebenen bestimmt.

anonymous

17:52 Uhr, 12.04.2008

ok, vielen dank.
das ist jetzt aber eher über die Koordinatenform als über die Normalenform?

mfg

MBler07 aktiv_icon

19:58 Uhr, 12.04.2008

Hast du dir mal meine erste Antwort durchgelesen? Du hast die beiden Ebenen in Koordinatenform gegeben, nicht in Normalenform.
Aber das macht für den Rechenweg keinen unterschied. Die Normalenform musst du halt erst noch ausmultiplizieren. Gleichsetzen kannst du sie ja direkt, da beide

= 0

sind.

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