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Berechnung einer unbegrenzten Fläche?

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Analysis/Graph/Funktion/Berechnung

03Michaela01

11:49 Uhr, 29.03.2023

Berechnen Sie die unbegrenzte Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen der Funktion

f : x \to x^{2} e^{- 0,4} x; x_{>} 0

Respon

12:10 Uhr, 29.03.2023

Und wie lautet DEINE Frage ?

Wie auch immer

. .

.
Du wirst wohl nicht um ein Integral umhinkommen.

Zwei Möglichkeiten : Partielle Integration oder allgemeiner Ansatz.
Integralrechner bieten meist nur die partielle Integration an, die hier doch sehr umfangreich ist.
Da der Integrand eine spezielle Struktur hat, erfordert der allgemeine Ansatz bei diesem Beispiel weniger Aufwand.

Allgemeiner Ansatz:

\int x^{2} \cdot e^{- 0,4 \cdot x} d x = e^{- 0,4 \cdot x} \cdot (a \cdot x^{2} + b \cdot x + c)

(+ C)

Überlege dir, warum der Term diese Gestalt haben muss.

Differenzieren und Koeffizientenvergleich.

{[e^{- 0,4 \cdot x} \cdot (a \cdot x^{2} + b \cdot x + c)]}^{'} = = e^{- 0,4 \cdot x} \cdot [- 0,4 \cdot a \cdot x^{2} + x \cdot (- 0,4 \cdot b + 2 \cdot a) + b - 0,4 \cdot c]

Vergleich:

- 0,4 \cdot a = 1 \Rightarrow a = . .

- 0,4 \cdot b + 2 \cdot a = 0 \Rightarrow b = . .

b - 0,4 \cdot c = 0 \Rightarrow c = . .

.

Du bekommst

: a = - 2,5

b = - 12,5

c = - 31,25

Also:

\int x^{2} \cdot e^{- 0,4 \cdot x} d x = e^{- 0,4 \cdot x} \cdot (- 2,5 \cdot x^{2} - 12,5 \cdot x - 31,25)

[+ C]

Für die Berechnung der Fläche brauchst du

\int_{0}^{\infty} x^{2} \cdot e^{- 0,4 \cdot x} d x

Und da gehts auch noch um einen "

l i m

willyengland aktiv_icon

13:03 Uhr, 29.03.2023

Man könnte z.B. integrieren ... und 31,25 rausbekommen. :-)

Lösungsweg:
www.integralrechner.de

Randolph Esser aktiv_icon

16:02 Uhr, 29.03.2023

Für

a, b \in R_{> 0}

gilt

\int_{a}^{b} x^{2} \cdot e^{- \frac{2}{5} \cdot x} d x

= - \frac{5}{2} \cdot x^{2} \cdot e^{- \frac{2}{5} \cdot x} |_{a}^{b} + 5 \cdot \int_{a}^{b} x \cdot e^{- \frac{2}{5} \cdot x} d x

= - \frac{5}{2} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x) \cdot e^{- \frac{2}{5} \cdot x} |_{a}^{b} + \frac{25}{2} \cdot \int_{a}^{b} e^{- \frac{2}{5} \cdot x} d x

= - \frac{5}{2} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + \frac{25}{2}) \cdot e^{- \frac{2}{5} \cdot x} |_{a}^{b}

.

Weiter gilt

- \frac{5}{2} \cdot (a^{2} + 5 \cdot a + \frac{25}{2}) \cdot e^{- \frac{2}{5} \cdot a} \to - \frac{125}{4} (a \to 0),

- \frac{5}{2} \cdot (b^{2} + 5 \cdot b + \frac{25}{2}) \cdot e^{- \frac{2}{5} \cdot b} \to 0 (b \to \infty)

.

Also existiert

\int_{0}^{\infty} x^{2} \cdot e^{- \frac{2}{5} \cdot x} d x = \frac{125}{4}

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