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Berechnung eines Benzintanks
Universität / Fachhochschule
Tags: Übriges
 
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anonymous 21:12 Uhr, 06.12.2003  |
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Ich habe folgendes Problem: Ein Benzintank, der am Boden liegt (d.h. ein einfacher, liegender Zylinder) wird voll befüllt. Jetzt mein Problem, wenn der Tank aber nur zu einem Teil befüllt ist, wie berechne ich den Inhalt desselben? Wenn er halb befüllt bzw. voll befüllt ist stellt dies kein Problem dar, da man einfach das Volumen eines Zylinders berechnet bzw. dies halbiert. Meine Idee wäre es wenn der Zylinder nur teils gefüllt ist, und ich ihn von vorne betrachte, ergibt dies die Oberflächenform einer halben Elipse? Also kann ich mittels der Formel ` A=(a*b*pi) /2 ` die Fläche der Elipse berechne, welche ich dann mit der Länge multipliziere und schon habe ich den Inhalt des Tanks. Ich bitte euch nun um das überprüfen meiner Theorie und einer Bestätigung bzw. bei Bedenken eine Stellungnahme! Danke im Voraus |
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Hi Shek, warum muss der Querschnitt eine Ellipse sein, die Verwendung eines Kreises ist schon spannend genug (sonst muss du vorausichtlich ein recht unangenehmes Integral lösen). Der Ansatz ist aber richtig. |
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Hallo, meiner Meinung nach betrachtet man einen Benzintank auch als "geraden" Zylinder, und daher genügt die Formel "Teilfläche des Kreises mal Höhe". Andernfalls: Da gab es aber auch nen Satz (bzw. etwas aus der Schule), dass die Volumina gleich sind, wenn auf der selben Höhe Schnitte die selbe Fläche "erzeugen". Mir fällt nur leider momentan absolut nicht ein, wie der Satz bzw. das "Ding" aus der Schule heißt. Ich kannte aber mal einen Beweis aus der Analysis für diesen Satz... Jetzt habe ich gerade herausgefunden, dass es tatsächlich auch elliptische Zylinder gibt (war mir nicht geläufig, dachte immer: Zylinder => Kreisfläche als Grundfläche) :-) vgl.: www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/Tech.Bio/Kapitel1.pdf Dein Ansatz sollte also stimmen, obwohl ich noch nicht ganz verstehe, was du damit meinst: "Oberfläche einer halben Ellipse..."? ... Meinst du das so wie ich denke dass du das meinst: Zylindervolumen=Grundfläche mal Höhe=:V Teilvolumen: (Durch Flüssigkeit berührte Oberfläche/Grundfläche)*V So sollte das hinhauen... Viele Grüße Marcel |
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Hi! Angenommen der Kreis habe den Radius r und sei bis zur Höhe h gefüllt. Dann setzt sich die unter Wasser liegende Querschnittsfläche aus einem Kreissegment und einem Dreieck zusammen. Damit gilt: |
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Die Seiten des Dreiecks sind die Wasseroberfläche und die Strecken vom Kreismittelpunkt zu den beiden Ufern. Letztere haben die Länge r. Der Winkel zwischen ihnen sei Alpha, die Fläche des Dreiecks A2, die Fläche des Kreissegmentes A1 und die Fläche des unter Wasser liegenden Zylinderquerschnittes A = A1 +/- A2 (+ für h gößer r, - für h kleiner r). Die Höhe des Dreiecks vom Kreismittelpunkt zur Wasseroberflächenseite ist |r-h|. |
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Hallo nochmal, jetzt verstehe ich, wie du das meinst, habe eben wohl aufm Schlauch gestanden: Du betrachtest also tatsächlich einen Kreiszylinder. Das Volumen berechnest du wie eben von mir beschreiben, wobei rad238 dir eine Formel gegeben hat, wie man dabei (Durch Flüssigkeit berührte Oberfläche/Grundfläche) ausrechnet. Kontrolliert habe ich diese allerdings nicht, da habe ich volles Vertrauen :-) Ich behaupte mal, dass das im Allgemeinen nicht eine Halbe Ellipse ist. Das siehst du schon daran, das, sobald der Tank mehr als halb voll ist, man es nicht zu einer Ellipse "klappen" kann. Ich könnte mich irren, aber so geometrisch bin ich der Überzeugung, dass eine Ellipse an den "Randpunkten" glatter verläuft. Um das zu kontrollieren: Zeichne doch einfach mal einen Kreis in ein Koordinatensystem, Fülle ihn nur 1/3 (von unten aus gesehen) aus und versuche, dass zu einer Ellipse (mithilfe der Definition) zu vervollständigen. Ich denke, da wirds schon bei der Konstrukltion schiefgehen... Viele Grüße Marcel |
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| Kann das eigentlich sein, dass diese Internetseite keine kleiner/größer-Zeichen verträgt? Da passiert immer Merkwürdiges mit meinen Einträgen. | |
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Danke für Dein Vertrauen Marcel! ;-)) |
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Gern geschehen :-) Das Problem mit den "Kleiner-Zeichen" kenne ich. Das umgehe ich immer, in dem ich immer ein Leerzeichen dazwischen lasse: 8 kleiner 12 schreibe ich also: 8 < 12 Ich teste es hier nochmal: 8<12 Viele Grüße Marcel |
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| Wow, jetzt gehts... ;-) | |
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Aha, Problem besteht bei Variablen: aus x < y wird dann x<y. Werde evtl. später mal nachfragen, zur Zeit wenig Zeit... Viele Grüße Marcel |
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Hallo Marcel, die Ellipse ist völlig unterschiedlich vom Kreis (Funktionalgleichung x^2/a^2+y^2/b^2=1, beim Kreis gilt a=b). Da die Ellipse nicht rotationssymmetrisch ist, kann die Fläche nicht geometrisch abgeleitet werden, sondern muss integriert werden. Übrigens ist jeder Kegelschnitt (Ellipse, Kreis, Hyperbel, Parabel) als Grundfläche für einen Zylinder zugelassen (ebenso wie für Kegel). Allerdings macht für dieses Problem nur Ellipse (und Kreis als Spezialfall) einen Sinn. |
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Hallo Fishy, ich (wir) haben das Problem als ein Problem eines geraden Kreiszylinders aufgefasst. Ich habe nie behauptet, dass man die Fläche einer Ellipse derart berechnen kann. Eine allgemeine Formel für eine Ellipse ist jedoch bekannt, diese habe ich in einem anderen Thread gepostet. Ich habe nur gesagt, dass man das Volumen des Zylinders berechnen könnte, wenn man die Berührfläche berechnen kann. Dafür habe ich keine Formel angegeben. Und mir dazu auch keine Gedanken gemacht :-) Ich kenne den Unterschied zwischen Kreis und Ellipse und auch die Schwierigkeiten, Teilflächen von Ellipsen zu berechnen. Entweder muss ich demnächst deutlicher machen, was ich meine, oder ein Bild beifügen. Soll ja bald möglich sein. Viele Grüße Marcel |
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Hallo Marcel, Du hast Recht! Bei a < b, b > a wird das b, b offensichtlich als Quellcode interprätiert und unsichbar gemacht, wenn man die Leerzeichen neben den Klammern wecklässt. @ ShekPaar: ich glaube auch nicht, dass es eine gute Idee ist, den unter Wasser liegenden Teil eines Kreises durch eine halbe Elipse zu ersetzen (falls Du dass vorhattest), weil dies Elipse ja dann spitze Ecken an den Ufern hätte (außer für h = 0 , r oder 2r). rad238 |
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Hallo Marcel, ich hatte euch da missverstanden. Es klang so als sollte der Fall des Kreiszylinders verallgemeinert werden zu allgemeinen Zylindern, was für einen Tank ja im Falle einer Ellipse technisch möglich ist. Um bei solchen Zylindern den Füllstand zu berechnen, bräuchte es eines anderen (allgemeineren) Ansatzes. Das ginge folgendermaßen: Sei h die Füllhöhe und a und b die Halbachsen (h<=a, sonst muss man etwas modifizieren), dann gilt Hierbei ist r der Schnittpunkt mit der x-Achse, wenn die X-Achse mit dem Füllstand übereinstimmen würde und 2r(b-h) die Fläche die zusätzlich berechnet wird, da die Ellipse nicht verschoben wird. Für die Grenzen gilt Das ist nur grob skizziert, wie ein solcher Lösungsweg aussehen würde. Wenn ich keinen Rechenfehler gemacht habe, sollte für a=b=r dasselbe herauskommen wie für einen Kreis. |
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Kein Problem, auch Missverständnisse können produktiv wirken ;-)) Viele Grüße Marcel |
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