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Berechnung eines Erwartungswertes

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Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Sonstig, Zufallsvariablen

 
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Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

14:04 Uhr, 04.03.2021

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Hallo,

ich benötige bei folgender Aufgabe Hilfe.

Sei X1,X2,... eine Folge von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen mit P(Xi=1)=P(Xi=-1)=12 und Sn=X1+...+Xn Bezeichne weiter für eine Stoppzeit τ die Menge TN={ττ Stoppzeit, τN} mit N. Zeige, dass dann für x
bNN(x)=xN,
bnN(x)=max{xn,bn+1N(x+1)+bn+1N(x-1)2}
mit n=1,...,N-1 gilt, dass
bnN(x)=max{xn,supτTN-nE(x+Sτn+τ)}


Ich weiß leider nicht, wie ich das zeigen kann. Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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HAL9000

HAL9000

11:14 Uhr, 05.03.2021

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Ich weiß nicht, wie es anderen geht, aber ich finde keinerlei Zugang zu dieser Problemstellung: Da ist diese offenbar deterministische Funktion bnN(x), die seltsam kompliziert rekursiv konstruiert ist, aber anscheinend doch (außer für x=0) viel viel einfacher explizit dargestellt werden kann - warum das ganze?

Der zentrale dann wohl eigentlich interessierende Wert supτTN-nE(x+Sτn+τ) versteckt sich dann ebenfalls in einer max{}-Konstruktion - schwer durchzusteigen, was der Sinn dieser ganzen Konstruktion sein soll, vielleicht würde da etwas Kontext helfen.

Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

12:04 Uhr, 05.03.2021

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Meine Idee war zunächst über die Snell-Einhüllende zu arbeiten.
Also
bnN(x)=max{xn,E(bn+1Nn)}

Der Kontext hinter dieser Sache ist das Werfen einer Münze, wobei die Auszahlung der Anteil der Köpfe ist, d.h xn

Bei der Bestimmung dieses Erwatungswertes möchte ich nun auf obige Formen kommen.
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