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Berechnung geometrische Summenformel

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Geometrische Summenformel

termi1310

18:56 Uhr, 05.09.2011

Berechnen mit Hilfe der geometrischen Summenformel:

$\sum_{k = 3}^{13} ({\frac{- 4}{3})}^{- 3 k - 1}$

als Ergebnis kommt raus:

$(\frac{3}{4})^{10} * \frac{64^{11} + 27^{11}}{64^{11} + {27 * 64}^{10}}$

Ich verstehe jedoch nicht, wie man darauf kommt. Vorallem auf der Ergebnis im Nenner. Ich hoffe mir kann schnell jemand helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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19:18 Uhr, 05.09.2011

\sum_{k = 3}^{n} q^{k} = \sum_{k = 0}^{n} q^{k} - \sum_{k = 0}^{2} q^{k} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} - \frac{1 - q^{3}}{1 - q} = \frac{q^{3} - q^{n + 1}}{1 - q}

Desweiteren ist

{(- \frac{4}{3})}^{- 3 k - 1} = {(- \frac{4}{3})}^{- 3 k} \cdot {(- \frac{4}{3})}^{- 1} = {({(- \frac{4}{3})}^{- 3})}^{k} \cdot (- \frac{3}{4}) = - \frac{3}{4} \cdot {(- \frac{27}{64})}^{k}

Also musst du

- \frac{3}{4} \cdot \sum_{k = 3}^{13} {(- \frac{27}{64})}^{k}

berechnen und dafür kannst du die oben hergeleitete Summenformel benutzen.

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20:17 Uhr, 05.09.2011

.
darf ich noch eine etwas andere Lösungsvariante vorschlagen ? :

schreib doch zunächst einfach mal ein paar Glieder der Summe hin:

{(- \frac{4}{3})}^{- 10} + {(- \frac{4}{3})}^{- 13} + {(- \frac{4}{3})}^{- 16} + ...

+ {(- \frac{4}{3})}^{- 40}

oder mit positiven Exponenten

{(\frac{3}{4})}^{10} + {(- \frac{3}{4})}^{13} + {(\frac{3}{4})}^{16} + {(- \frac{3}{4})}^{19} + ... . .

+ {(\frac{3}{4})}^{40}

a_{1} = {(\frac{3}{4})}^{10}

q = {(- \frac{3}{4})}^{3}

n = 11

und nun einfach einsetzen in die übliche bekannte Summenformel usw..

probiers..

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20:32 Uhr, 05.09.2011

Der Weg gefällt mir gut. Wird weniger Aufwand werden als der von mir vorgeschlagene Weg. Allerdings ist dann

n = 10

und nicht

n = 11

falls ich es richtig verstanden habe.
Also

\sum_{n = 0}^{10} {(\frac{3}{4})}^{10} \cdot {(- \frac{3}{4})}^{3 n}

muss dann berechnet werden.

rundblick aktiv_icon

21:39 Uhr, 05.09.2011

"Allerdings ist dann

n = 10

und nicht

n = 11

falls ich es richtig verstanden habe."

hm..
da ich die Zählung nicht wie du mit

n = 0,

sondern mit

n = 1

beginne, deshalb ist bei mir

n = 11

also:
erster Summand:

a_{1} = {(\frac{3}{4})}^{10},

q = {(- \frac{3}{4})}^{3}

n = 11

letzter Summand:

a_{11} = a_{1} \cdot q^{10} = {(\frac{3}{4})}^{40}

S = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

einverstanden?

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21:47 Uhr, 05.09.2011

Achso dann hatte ich dich nicht ganz richtig verstanden. Du setzt dann mit

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

an. Ist natürlich auch möglich.

rundblick aktiv_icon

22:08 Uhr, 05.09.2011

"Du setzt dann mit

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

an.
Ist natürlich auch möglich."

Ja -
beginne mit

n = 1

zu zählen,
um dem alten Problem, ob die 0 zu

ℕ

gehört oder nicht, auszuweichen...

Wird übrigens in dieser Form durchaus auch in vielen Formelsammlungen so gehandhabt..

.

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22:14 Uhr, 05.09.2011

"Wird übrigens in dieser Form durchaus auch in vielen Formelsammlungen so gehandhabt.."
Ich persönlich habe auch

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

und

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

als allgemeine Vorschriften für arithmetische/geometrische Folgen gelehrt bekommen, daher glaube ich das gerne.

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