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Berechnung große und kleine Halbache Hyperbel

Schüler Gymnasium,

Tags: halbachsen, Hyperbel

Chollo129 aktiv_icon

15:08 Uhr, 05.01.2011

Hallo,

Gegeben habe ich folgende Funktion: $f (x) = \sqrt{0, 5 x² - 3 x + 1}$

Der Graph der Funktion ergibt eine Hyperbel, die aber nur oberhalb der x achse definiert ist, daher nur eine halbe Hyperbel. Der Mittelpunkt liegt zwar auf der x-Achse, aber nicht im Ursprung.

Die Frage lautet, wie berechne ich anhand der gegebenen Funktion die große und kleine Halbachse der Hyperbel?

Mittelpunkt zu berechnung ist kein Problem aber ich komm einfach nicht drauf wie es mit den Halbachsen aussieht.

Ideen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hyperbeln

anonymous

22:04 Uhr, 05.01.2011

Ich weis nicht viel über Hyperbeln, aber ich würde jetzt erstmal die Funktiongleichung benutzen, um eine Gleichung der Hyperbel in der folgenden Form zu erhalten:

{(\frac{x - x_{M}}{a})}^{2} - {(\frac{y - y_{M}}{b})}^{2} = 1

y = \sqrt{0,5 x^{2} - 3 x + 1}

y^{2} = 0,5 x^{2} - 3 x + 1

2 y^{2} = x^{2} - 6 x + 2

2 y^{2} = x^{2} - 6 x + 9 - 7

2 y^{2} = {(x - 3)}^{2} - 7

{(x - 3)}^{2} - 2 y^{2} = 7

\frac{{(x - 3)}^{2} - 2 y^{2}}{7} = 1

\frac{{(x - 3)}^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{\frac{7}{2}} = 1

{(\frac{x - 3}{\sqrt{7}})}^{2} - {(\frac{y - 0}{\sqrt{\frac{7}{2}}})}^{2} = 1

\Rightarrow M (3 | 0), a = \sqrt{7}, b = \sqrt{\frac{7}{2}}

Alternativ könnte man, denke ich, die Länge der reelle Halbachse auch ausrechnen, indem man sagt:
Bei einer Hyperbel in dieser Lage ist der halbe Abstand der Nullstellen von

f (x)

die Länge der reellen Halbachse:

f (x) = \sqrt{0,5 x^{2} - 3 x + 1} = 0

0,5 x^{2} - 3 x + 1 = 0

x^{2} - 6 x + 2 = 0

x^{2} - 6 x + 9 = 7

{(x - 3)}^{2} = 7

x - 3 = \pm \sqrt{7}

x = 3 \pm \sqrt{7}

x_{1} = 3 - \sqrt{7} x_{2} = 3 + \sqrt{7}

\frac{x_{2} - x_{1}}{2} = \sqrt{7} = a

Nur habe ich jetzt direkt noch keine Idee, wie man die andere Halbachse Berechnen könnte.

Wie ich schon anfangs geschrieben habe, habe ich aber nicht viele Kenntnisse auf diesem Gebiet. Das hier ist im Prinzip, das erste Mal, dass ich etwas zu Hyperbeln gerechnet habe.

Chollo129 aktiv_icon

12:59 Uhr, 06.01.2011

Hey,

Erst mal danke für deine Antwort!

Ich bin gestern auf ein ähnliches ergebnis gekommen. Für a habe ich die formel errechnet:

$a = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{b² + 4 a c}}{a}$ =eingesetz= $\sqrt{7}$

wenn man nun die allgemeine Hyperbelformel nach b auflöst komme ich nach langer umstellung und kürzung auf:

b= $\sqrt{\frac{a}{4}}$

Jedoch komme ich dann auf eine anderes ergbnis als auf dein b= $\frac{\sqrt{7}}{2}$

bei mir kommt eingesetz folgendes heraus:

$\sqrt{\frac{\sqrt{7}}{4}}$ = $\frac{1}{2} \times \sqrt{\sqrt{7}}$

meine frage wie du auf dein b kommst? bist du dir sicher das es richtig ist?

MfG

Chollo129 aktiv_icon

13:47 Uhr, 06.01.2011

okay ich hab nochmal nachgerechnet jetz kommt für b= $\sqrt{a}$ raus. aber das stimmt dann auch nich mit deiner lösung überein.

anonymous

13:54 Uhr, 06.01.2011

Also ich habe das jetzt mal so überprüft:

Ich habe jetzt der Software GeoGebra die Hyperbel un deren Brennpunkte zeichnen lassen. Anschließend habe ich mir die Länge der reellen Halbachse a und die Brennweite

e

ausgeben lassen. Da habe ich dann angezeigt bekommen:

a \approx 2,6458

e \approx 3,2404

(siehe: Bild im Anhang)

Laut Wikipedia soll gelten:

a^{2} + b^{2} = e^{2}

b^{2} = e^{2} - a^{2} \approx {3,2404}^{2} - {2,6458}^{2} \approx 3,4999

b \approx \sqrt{3,4999} \approx 1,8708

\sqrt{7} \approx 2,6458

\sqrt{\frac{7}{2}} \approx 1,8708

Laut dieser Probe, scheint mein Ergebnis zu stimmen. Ich werde auch gleich nochmal ergänzen, wie ich das vorher jetzt genau berechnet habe.

Chollo129 aktiv_icon

14:23 Uhr, 06.01.2011

ich hab es jetzt 3 mal nachgerechnet und es kommt jedes mal $\sqrt{a}$ raus. Aber ich sehe an deiner Lösung das es eig anders sein müsste. Hab nur ein Problem das es in meiner facharbeit vorkommt. Ich muss anhand der allgemeinen funktion: $f (x) = \sqrt{a x² + b x + c}$ die halbachsen herleiten.

die große halbachse war ja kein problem. aber wenn man $\frac{(x - x o) ²}{a²} - \frac{(y - y 0)}{b²} = 1$ nach b auflöst kommt:

$b = \sqrt{\frac{- 1}{\frac{1}{y²} \times \frac{(x - x 0) ²}{a² \times y²}}}$

vllt liegt hier schon mein fehler? Wär super wenn du mir deine Lösung von der auflösung nach b schreiben könntest!

anonymous

14:27 Uhr, 06.01.2011

Edit1: Ich schau mir deinen letzten Beitrag gleich noch an.
Edit2: Ich habe jetzt deinen letzten Beitrag mal überflogen, mir fällt aber gleich auf, dass, wenn ich das richtig durchdacht habe, bei dir eine negative Zahl unter der Wurzel stehen bleibt. Ich rechne aber gleich nochmal nach und schau es mir genauer an.

Also nochmal, wie ich drauf gekommen bin:
Ich habe bei Wikipedia gelesen, dass sich eine Hyperbel folgendermaßen darstellen lässt, wenn sie entsprechend liegt:

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Wobei a und

b

die Halbachsen(-längen) der Hyperbel sind.

Wenn die Hyperbel jetzt nun parallelverschoben wird um

x_{M}

in x-Richtung bzw.

y_{M}

in y-Richtung müsste die Formel lauten:

\frac{{(x - x_{M})}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - y_{M})}^{2}}{b^{2}} = 1

Dann habe ich mir gedacht, dass ja nun ein Hyperbelteil durch die Funktion

f

beschrieben wird mit:

y = f (x)

y = \sqrt{0,5 x^{2} - 3 x + 1}

Anschließend habe ich quadriert, um auf eine Gleichung zu kommen, die die ganze Hyperbel beschreibt:

y^{2} = 0,5 x^{2} - 3 x + 1

Nun multipliziere ich mit

2,

um anschleißend leichter weiterrechnen zu können:

2 y^{2} = x^{2} - 6 x + 2

Nun will ich aber etwas in der Form

{(x - x_{M})}^{2} + r,

habe aber nur etwas in der Form

x^{2} + p x + q

.
Ich führe nun also eine quadratische Ergänzung mit

+ {(\frac{- 6}{2})}^{2} - {(\frac{- 6}{2})}^{2} = + 9 - 9

durch um auf ein Binom zu kommen:

2 y^{2} = x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 2

Wobei ich

- 9 + 2

gleich als

- 7

geschrieben habe:

2 y^{2} = x^{2} - 6 x + 9 - 7

Nun habe ich

x^{2} - 6 x + 9,

was sich auch als

{(x - 3)}^{2}

schreiben lässt:

2 y^{2} = {(x - 3)}^{2} - 7

Nun addiere ich 7 und subtrahiere

2 y^{2}

und vertausche die Terme auf beiden Seiten der Gleichung miteinander, um ein wenig zu sortieren, und erhalte:

{(x - 3)}^{2} - 2 y^{2} = 7

Anschließend dividiere ich mit

7,

da ich am Ende nur noch eine 1 auf der rechten Seite stehen haben möchte:

\frac{{(x - 3)}^{2} - 2 y^{2}}{7} = 1

Den Bruch kann ich aufteilen zu:

\frac{{(x - 3)}^{2}}{7} - \frac{2 y^{2}}{7} = 1

Da nun

\frac{2 y^{2}}{7} = \frac{y^{2}}{\frac{7}{2}}

kann ich auch schreiben:

\frac{{(x - 3)}^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{\frac{7}{2}} = 1

7 = {\sqrt{7}}^{2}

und

\frac{7}{2} = {\sqrt{\frac{7}{2}}}^{2}

kann ich schreiben:

\frac{{(x - 3)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} - \frac{y^{2}}{{\sqrt{\frac{7}{2}}}^{2}} = 1

y = y - 0

kann ich schreiben:

\frac{{(x - 3)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} - \frac{{(y - 0)}^{2}}{{\sqrt{\frac{7}{2}}}^{2}} = 1

Koeffizientenvergleich mit dem anfangs erwähnten

\frac{{(x - x_{M})}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - y_{M})}^{2}}{b^{2}} = 1

ergibt:

a = \sqrt{7}

b = \sqrt{\frac{7}{2}}

Chollo129 aktiv_icon

14:38 Uhr, 06.01.2011

ja aber bei mir kürzt sich das - zeichen am ende. da für den nenner in der wurzel ganz am ende $- \frac{1}{a}$ stehen bleibt

anonymous

14:39 Uhr, 06.01.2011

\frac{{(x - x_{0})}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - y_{0})}^{2}}{b^{2}} = 1

\frac{{(x - x_{0})}^{2}}{a^{2}} - 1 = \frac{{(y - y_{0})}^{2}}{b^{2}}

b^{2} \cdot (\frac{{(x - x_{0})}^{2}}{a^{2}} - 1) = {(y - y_{0})}^{2}

b^{2} = \frac{{(y - y_{0})}^{2}}{\frac{{(x - x_{0})}^{2}}{a^{2}} - 1} = \frac{a^{2} \cdot {(y - y_{0})}^{2}}{{(x - x_{0})}^{2} - a^{2}}

So sähe das in etwa bei mir aus. Aber ich würde trotzdem gerne wissen, wie du das versucht hast, wenn du das vielleicht mal ganz schreiben würdest.

Chollo129 aktiv_icon

14:53 Uhr, 06.01.2011

$\frac{(x - x 0) ²}{a²} - \frac{(y - y 0) ²}{b ²} = 1$ y0 ist ja immer 0 deswegen lasse ich es gleich weg.

$- \frac{y²}{b ²} = 1 - \frac{(x - x 0) ²}{a ²}$

$- \frac{1}{b ²} = \frac{1}{y²} - \frac{(x - x 0) ²}{a² \times y²}$

$b ² = - \frac{1}{\frac{1}{y²} - \frac{(x - x 0) ²}{a² \times y ²}}$

$b = \sqrt{\frac{- 1}{\frac{1}{y²} - \frac{(x - x 0) ²}{a² \times y²}}}$

Dann habe ich für a,b einfach g und k, wie große und kleine halbachse geschrieben:

für a habe ich dann: $\frac{\sqrt{b² - 4 a c}}{2 a}$

für x0: $- \frac{b}{2 a}$

und für y die funktion: $\sqrt{a x² + b x + c}$

eingesetzt.

Ich rechne das ganze jetzt einmal mit deiner auflösung durch und schau mir des ergebnis an.

anonymous

15:06 Uhr, 06.01.2011

Also: Deine Umformung stimmt. Im vorigen Beitrag hattest du da ein

\times

statt einem - stehen.

Jedenfalls kömmt bei dir raus:

b = \sqrt{\frac{- 1}{\frac{1}{y^{2}} - \frac{{(x - x_{0})}^{2}}{a^{2} \cdot y^{2}}}}

Quadrieren:

b^{2} = \frac{- 1}{\frac{1}{y^{2}} - \frac{{(x - x_{0})}^{2}}{a^{2} \cdot y^{2}}}

Mit

a^{2} \cdot y^{2}

erweitern:

b^{2} = \frac{- a^{2} y^{2}}{a^{2} - {(x - x_{0})}^{2}}

Mit

- 1

erweitern:

b^{2} = \frac{a^{2} y^{2}}{{(x - x_{0})}^{2} - a^{2}}

Und schon steht das gleiche da, wie bei mir, nur dass du eben noch

y_{0}

weggelassen hast, was man aber, wie du richtig festgestellt hast bei diesem Beispiel machen darf.

Das Weitere andere scheue ich mir gleich an.

Edit:
Also gilt (ich nehme jetzt mal meinee Auflösung, die ich persönlich schöner finde):

b_{H A}^{2} = \frac{a_{H A}^{2} y^{2}}{{(x - x_{0})}^{2} - a_{H A}^{2}}

a_{H A} = \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Das ist richtig.

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

Stimmt auch.

y = f (x) = \sqrt{a x^{2} + b x + c}

Stimmt auch.

Chollo129 aktiv_icon

15:12 Uhr, 06.01.2011

Du bist mein Retter :)!

habs nachgerechnet jetzt kommt $b = \sqrt{\frac{b² - 4 a c}{4 a}}$

Stimmt mit deine ergebnissen überein!

Mein fehler lag also nur in der umformung..

Ich bin dir echt so dankbar! Cool das es Leute gibt die sich für sowas zeit nehmen.

MfG

Edit: Meins stimmt? ^^ aber ich frage mich warum ich da auf ein anderes ergebnis komme. Aber ich bin froh das es mit deiner auflösung klappt

anonymous

15:24 Uhr, 06.01.2011

Also das b=... rechne ich jetzt mal nicht nach.
Edit: Wenn du mich darum bittest dann, mach ich das gleich, dauert nur einen Moment.
Edit: Deine Formel für die Halbachse b stimmt.

Du solltest aber des Weiteren noch bedenken, falls du es nicht schon gemacht hast, was los ist, wenn die Dikriminante b²-4ac negativ wird. Dann gibt es für die reelle Halbachse a laut der Formel, die du jetzt hergeleitet hast, nämlich keinen reellen Wert. Da die reelle Halbachse dann nämlich nicht mehr parallel zur x-Achse, sondern parallel zur y-Achse liegt.

Oder musst du diesen Fall nicht untersuchen. Ist jedenfalls nur ein Hinweis, da mir das gerade selbst aufgefallen ist.

Und ansonsten freut es mich, wenn ich dir helfen konnte.
(Außerdem ich habe selbst einige neue Sachen gelernt.)
(^_^)

Chollo129 aktiv_icon

15:30 Uhr, 06.01.2011

Das Grenze ich von vornherein ab. Die funkiton nimmt ja verschiedene formen in abhängigkeit von a,b und c. Die bedingungen stehen immer als grundvorrausetzung für die berechnungen!

Also danke nochmal und einen schönen Tag noch :)

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