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Berechnungen im Kreis und am Dreieck - komme nicht

Universität / Fachhochschule

Tags: Dreieck, formel herleiten, Geometrie, Kreis

Toastbroat aktiv_icon

14:58 Uhr, 20.06.2020

Hallo.

Ich bin auf der Suche nach einem Lösungsansatz/Formel um

c 2

und den Winkel Alpha zu bekommen wenn sich

a 2

ändert.

Das Dreieck bleibt gleich, verschiebt sich lediglich auf der y-Achse des Kreises nach oben bzw. unten - den Wert

a 2

gebe ich vor

(52

Varianten).

Hat jemand ne Idee? Ich Doktor schon seit Stunden und könnte es maximal geometrisch lösen.

Danke vorab
Matthias

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Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
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michaL aktiv_icon

15:35 Uhr, 20.06.2020

Hallo,

getippte Aufgabenstellungen (Scan der Originalaufgabenstellung) sind mir deutlich lieber als Skizzen, aus denen man mehr raten muss als ablesen kann.
Was ist fest vorgegeben? Was ist variabel? Was ist gesucht?

Mfg Michael

Toastbroat aktiv_icon

16:30 Uhr, 20.06.2020

Hallo Michael.

Ich habe keine "Aufgabenstellung" in diesem Sinn. Ist eine Aufgabe aus der Praxis - Stahlkonstruktion für Rohreinzug. Ich habe das mit der Skizze nur versucht runter zu brechen und darzustellen.

Gegeben sind

a, b, c, γ

und der Durchmesser des Kreises.

a 2

ist variabel(52 unterschiedliche Werte)

Gesucht werden

c 2

und der Winkel

α

Ich könnte noch eine AutoCad Zeichnung erstellen Wenn's dann besser zu lesen ist...

Viele Grüße
Matthias

anonymous

16:54 Uhr, 20.06.2020

Hallo,

kannst du das noch mal etwas präzisieren und skizzieren.
So kann ich noch nicht ganz nachvollziehen was genau du machen möchtest.

Toastbroat aktiv_icon

18:23 Uhr, 20.06.2020

Hallo.

Im Anhang eine neue Skizze.
Dreieck verschiebt sich auf y-Achse, definiert durch

a 2

mit unterschiedlichen Werten. Dreieck ist definiert(a,b und

c),

Kreis auch.

Gesucht werden

c 2

und der Winkel

α

zwischen Tangente und Dreiecksschenkel

c

.

Danke vorab und viele Grüße
Matthias

Toastbroat aktiv_icon

18:23 Uhr, 20.06.2020

Hallo.

Im Anhang eine neue Skizze.
Dreieck verschiebt sich auf y-Achse, definiert durch

a 2

mit unterschiedlichen Werten. Dreieck ist definiert(a,b und

c),

Kreis auch.

Gesucht werden

c 2

und der Winkel

α

zwischen Tangente und Dreiecksschenkel

c

.

Danke vorab und viele Grüße
Matthias

Roman-22

04:17 Uhr, 21.06.2020

Benötigst du wirklich allgemeine Formeln für

α

und

c_{2}

in Abhängigkeit von

a, b, d

und

a_{2}

? Oder genügten dir die numerischen Ergebnisse, wenn du uns die konkreten Werte bzw. die Werteliste für

a_{2}

bekannt gibst?
Der Rechengang ist nicht so schwierig, aber die allgemeinen Formel dürften doch recht unhandlich werden.

Ich würde nicht das Dreieck mit den Seitenlängen

a, b

und

c

(nehme an, es soll ein rechtwinkeliges Dreieck sein? Eingezeichnet hast du den rechten Winkel aber nicht!) als "beweglich" annehmen, sondern den Kreismittelpunkt und dann das Ganze analytisch nachrechnen.

Die Eckpunkte des Dreiecks seien

O (0 / 0), A (0 / a)

und

B (b / 0)

. Der Mittelpunkt des Kreises ist

M (0 / a_{2} + \frac{d}{2}),

wobei

\frac{d}{2}

der Kreisdurchmesser ist.

Jetzt kann man leicht die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt

M

und Radius

\frac{d}{2}

aufstellen und auch die Gleichung der Geraden durch A und B.
Von den beiden Lösungen dieses Gleichungssystems interessiert nur jene mit der größeren (positiven) x-Koordinate. Nennen wir den zugehörigen Punkt

P (x_{P} / y_{P})

c_{2}

ist nun leicht bestimmbar mit der Differenz von

c

und der Strecke

\bar{A P},

also

c_{2} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} - \sqrt{x_{P}^{2} - {(y_{P} - a)}^{2}}

.

Und auch der gesuchte Winkel ist leicht als der Winkel zwischen dem Vektor

\vec{M P}

und einem Normalvektor zu

\vec{A B}

berechenbar.

Aber wie gesagt - eine allgemeine Formel anzugeben ist da sicher schon recht aufwändig.

Schon nur die Koordinaten von

P

sind schon ein kleinwenig unhandlich, wie du dem beigefügten Bild entnehmen kannst.

anonymous

12:18 Uhr, 21.06.2020

Zunächst müsste ich wissen, ob ich es richtig verstanden habe.
Dazu eine Skizze.

Mit

\frac{b x}{a} = r \sin (φ)

ergibt sich für

φ = \arcsin (\frac{b x}{a r})

Und

α = 9 0^{\circ} - φ + β

Roman-22

15:37 Uhr, 21.06.2020

@PROOF

Du verwendest also nicht, wie gegeben den Durchmesser

d,

sondern den Radius

r = \frac{d}{2},

OK.
Du verwendest anstelle der vom Fragesteller vorgegebenen Bezeichnung

β

lieber ein

φ

Du verwendest anstelle der vom Fragesteller vorgegebenen Bezeichnung

γ

lieber in

β

Das kann man machen, muss man aber nicht, denn erfahrungsgemäß tragen solche nicht zwingend nötigen Umbenennungen in einem Thread mehr zur Verwirrung als zur Klärung bei.

Schlimm wird es bei deiner kleinen Skizze, die da einsam links oben im großen weißen Nichts liegt, wenn es um dein nicht näher erklärtes und in der Zeichnung auch nicht vorkommendes "x" geht. Es ist natürlich nicht dir Größe

x,

die der Fragesteller in seiner ersten Zeichnung eingetragen hatte. Mir ist schon klar, was du damit bezeichnen möchtest (mangels Punktbeschriftung in deiner Zeichnung ist das jetzt aber verbal schwerer formulierbar), doch ist diese Größe leider nicht so einfach durch die Angabegrößen (und die sind

a, b, d

und

a_{2})

ausdrückbar.

Soweit ich es nachvollziehe gilt für dein

x

die Beziehung:

x = a - a_{2} - \frac{d}{2} \cdot (1 - cos φ)

und wenn du das in deine Beziehung

\frac{b}{a} \cdot x = \frac{d}{2} \cdot sin φ

einsetzt, musst du für

φ

erstmal eine goniometrische Gleichung lösen. Da wir

0 \leq φ \leq \frac{π}{2}

voraussetzen können, dürfen wir

cos φ = \sqrt{1 - {sin}^{2} φ}

verwenden und erhalten so letztlich eine quadratische Gleichung für

sin φ

. Alternativ kann man auch die Halbwinkelsubstitution (Weierstraß) verwenden und so auf eine quadratische Gleichung für

\frac{tan φ}{2}

kommen. Jetzt muss man sich dann für die jeweils "richtige" der beiden Lösungen entscheiden und damit weiter machen.
Möglich ist das alles aber schon und mit dieser Korrektur führt dein Lösungsweg auch durchaus zum gewünschten Ziel - jedenfalls was den Winkel anlangt. Allerdings werden die Formeln, nur durch die Angabegrößen ausgedrückt, auch hier zu eher unhandlichen Ausdrücken.
Hat man einmal

φ

und damit auch dein "x", dann ist

c_{2}

kein Problem mehr. Für

c_{2}

gilt dann (mit deiner Bezeichnung "x"):

c_{2} = \frac{c}{a} \cdot (a - x)

P . S . :

Ich habe im Anhang in die letzte Zeichnung des Fragestellers jene Strecke eingetragen, von ihr meine, dass du sie mit "x" bezeichnest (generell eine ungünstige Bezeichnung für eine Strecke, wenn man auch ein Koordinatensystem mit einer x-Achse verwendet).

anonymous

16:55 Uhr, 21.06.2020

@Roman22

Ach was, und Du glaubst deine Erläuterungen sind hier bei mir willkommen ?
Mein Beitrag war/ist an Matthias gerichtet, nicht an dich.
Und führe bitte nicht meinen Ansatz weiter, das kann ich selbst.

Mit deinem Stuss, mit dem Du anscheinend erfolglos die letzte Nacht verbracht hast, ist ja nun
praktisch, und darum geht es vordringlich in diesem Fall, für den Fragesteller überhaupt kein Nutzen gegeben.

Also, mach besser deinen eigenen Kram halbwegs brauchbar, aber störe hier nicht mit deinen, nicht insgesamt falschen, aber hier völlig überflüssigen Ausführungen.

Die Skizze hast ja anscheinend selbst Du halbwegs nachvollzogen und gemerkt, dass es so verstanden, sehr einfach zu einer Lösung geführt werden kann - ohne 3 Meter lange Wurzeln wie Du sie hier für deinen Lösungsansatz in peinlicher Weise zu verwenden pflegtest, und das auch noch ohne ein brauchbares Ergebnis zu erlangen.

Also, hast gut abgeschrieben, meinen Glückwunsch.
Sehr gerne würde ich in dieser Sache nichts mehr von dir hören. Ich weiß, das ist genau so schwer für dich, wie einen eigenen brauchbaren Lösungsansatz für die hier gegebene Fragestellung zu finden.

Toastbroat aktiv_icon

17:15 Uhr, 21.06.2020

Hallo zusammen.

Als erstes ein dickes Danke für Eure Bemühungen.

@Roman-22:
das klingt spannend, brauche in der Tat keine konkrete Formel - die Werte würden mir reichen.

Ich habe das jetzt mal konstruiert und Euch im Anhang einmal ein Bild mit der späteren Stahlkonstruktion und einmal ein vereinfachtes Bild beigefügt. Eingetragen sind alle gegebenen Maße (bitte nicht wegen der Klammern wundern, das spuckt das Programm so aus).

Für

a 2

gibt es die folgenden Werte, welche dann ein entsprechendes

c 2

und

α

ergeben sollten:

296,78

323,97

343,37

354,38

365,39

376,40

375,40

368,61

358,06

345,11

338,32

331,94

334,14

336,26

331,24

330,52

332,66

334,77

339,53

347,46

341,49

353,42

347,21

347,51

349,64

346,93

343,89

340,82

326,64

319,32

313,06

306,33

306,62

302,77

300,84

302,95

305,07

307,18

310,00

320,75

323,55

332,77

343,78

349,95

348,32

341,55

334,77

327,73

312,05

302,48

286,89

271,07

Ich versuche das auch als Excel Datei anzuhängen.

Danke nochmal für Eure Bemühungen und viele Grüße
Matthias

Roman-22

23:11 Uhr, 21.06.2020

Um bei deinen ursprünglichen Bezeichnungen zu bleiben sind also die Größen

a = 495,20

b = 501,43

d = 456

und

a_{2}

variiert im Bereich von

271,07

bis

376,40

Die beiden eingetragenen 45° Winkel sind irreführend, da sie ja in Wahrheit 44,64° und 45,36° betragen.

Ein wenig irritiert allerdings, dass deine Zeichnung die Situation für

a_{2} = 128,82

zeigt und dieser Wert liegt weit außerhalb des Bereichs, den du für die a_2-Werte angibst..
Irritierend auch, dass du die Werte für

a_{2}

dermaßen ungeordnet (größenmäßig) angibst.

Abgesehen davon gibst du vom Rohr nur den Innenradius an. Für die Ergebnisse, die dich interessieren, ist aber der Außenradius oder -durchmesser relevant!

Habe ich etwas falsch interpretiert?

P . S . :

Leider lassen sich hier nur statische Bilder anhängen (nicht einmal animierte GIFs) und keine anderen Dateien. Für das excel sheet müsstest du einen externen Hoster verwenden und den Link hier posten.

Roman-22

02:16 Uhr, 22.06.2020

Im Anhang die Werte, wobei ich, wie im Bild ersichtlich, eine Wandstärke von 9 angenommen habe. Das Ergebnis für

a_{2} = 128,82

so wie in deinem Bild gezeigt passt mit rund 67,1° recht gut zum Winkel in deiner Zeichnung.
Wenn die obere Ecke des Dreiecks unter den Kreismittelpunkt zu liegen kommt, so wie das für die von dir gegegebenen

a_{2} -

Werte der Fall ist, ergeben sich natürlich stumpfe Winkel für

α

.
Die im Bild gezeigte Tabelle verwendet die

a_{2} -

Werte so und in der gleichen Reihenfolge wie von dir angegeben.
Angefügt sind auch noch zwei Plots, die die Änderung von

α

und

c_{2}

in Abhängigkeit von

a_{2}

zeigen.

Toastbroat aktiv_icon

07:41 Uhr, 22.06.2020

Hi Roman-22.

wow, vielen Dank schon einmal für die Berechnungen. In der Tat habe ich ein paar Fehler in meinem letzten Post gemacht. So habe ich durch das umsortieren im Excel die falschen Werte hier rein kopiert.

: \frac{-}{}

Den äußeren Radius habe ich jetzt auch bemaßt - Wanddicke beträgt

8,0

mm. Und mit den krummen Winkeln kommt wohl von meinem Konstruktionsprogramm.

Die korrekten (und sortierten) Werte für

a 2

lauten:

129,82

130,82

137,61

140,83

148,16

151,84

152,80

156,27

156,58

157,90

158,71

158,76

159,01

159,29

161,11

162,33

162,44

162,85

164,67

164,73

165,40

166,69

167,90

169,96

171,45

171,45

172,08

173,45

173,56

174,28

174,98

175,70

178,49

179,58

182,25

182,67

185,47

186,90

193,16

194,17

196,22

199,04

199,60

199,89

201,15

203,27

203,45

203,74

205,38

209,44

219,33

235,15

Das Excelfile habe ich jetzt auch mal hochgeladen:
uetleipzig-my.sharepoint.com:x:/g/personal/uet_ue-team_com/EbMdecQ9a2BKj2-pnCmlPLQBuDLoiQlliRECu2yfJeOvvA?e=3neobi

Wäre super, wenn Du noch einmal die Berechnungen mit den korrekten Werten machen könntest. :-)

Vielen Dank für Deine Bemühungen und viele Grüße
Matthias

Roman-22

18:49 Uhr, 22.06.2020

Der Link zum Excel Sheet hat für mich nicht funktioniert - auch wenn man den kompletten Link per copy & paste in die Adresszeile kopiert (da Links in diesem Forum leider oftmals unvollständig interpretiert werden).
Aber die Daten waren je deinem Beitrag ohnedies zu entnehmen.
Im Anhang die Tabelle für den Radius

236

und den neuen Werten für

a_{2},

die jetzt auch besser zur Zeichnung passen ;-)
Wenn du den Ausdruck für die Koordinaten des Punkts

P

von meiner allerersten Antwort übernimmst, sollten damit die restlichen Berechnungen auch leicht nach Excel übertragbar sein.

Roman-22

03:14 Uhr, 23.06.2020

Ich habs nun spaßhalber und zur Kontrolle mit einem anderen Ansatz gerechnet und erfreulicherweise stimmen die Ergebnisse überein ;-) Unterschiede gibt es nur so ca. ab der zwölften Nachkommastelle und die sind auf numerische Ungenauigkeiten beim Rechnen mit IEEE Variablen zurückzuführen.

Berechnungsmethode und Ergebnistabellen im Anhang.

Auch hier ist im ersten Schritt

i . W

. eine quadratische Gleichung zu lösen und die relevante der beiden Lösungen zu selektieren.
Die Lösungen in allgemeiner Form wären auch bei diesem Ansatz ziemlich unhandlich.

Toastbroat aktiv_icon

22:02 Uhr, 25.06.2020

Hallo Roman-22.

Ein riesiges Dankeschön! Hat leider etwas gedauert mit meiner Antwort.

: \frac{-}{}

Ich habe die Werte (teilweise, per Zufall) auch zeichnerisch überprüft und es passt wie Du sagst auf ein paar Nachkommastellen genau. :-)

Gefertigt wird dann eh auf

,5

gerundet was eine ausreichende Genauigkeit liefert.

Vielen Dank für Deine Unterstützung und den doch recht krassen Rechenweg!

Alles Gute, bleibe gesund und viele Grüße
Matthias

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