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Bereichsintegral berechnen

Universität / Fachhochschule

14:47 Uhr, 13.06.2010

Berechnen Sie mittels Bereichsintegral den Flächeninhalt des Bereiches B. B werde begrenzt von der Astroide

$x = a * \cos^{3} (t)$

$y = a * \sin^{3} (t)$ ,

$0 \leq t \leq 2 π$

Danke!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

17:20 Uhr, 13.06.2010

Hallo,
auch hier ist der Integrationsbereich im jeden Quadranten gleich, also wieder nur einen berechnen und

\cdot 4

( siehe Grafik ). Mann muss wieder den Integrationsbereich mit Funktionen beschreiben, also

y

soll von

x

abhängen oder andersrum, aber kein

t

mehr. Man stellt also beide Gleichungen nach

t

um und setzt sie gleich und dann stellt man nach

y

( oder

x

) um.

x = a \cdot \cos^{3} (t) \Rightarrow t = \arccos (\sqrt[3]{\frac{x}{a}})

y = a \cdot \sin^{3} (t) \Rightarrow t = \arcsin (\sqrt[3]{\frac{y}{a}})

\Rightarrow \arccos (\sqrt[3]{\frac{x}{a}}) = \arcsin (\sqrt[3]{\frac{y}{a}})

\overset{}{\Leftrightarrow} a \cdot \sin^{3} (\arccos (\sqrt[3]{\frac{x}{a}})) = y_{o}

Das Integral lautet also:

\int_{x = 0}^{1} \int_{y = 0}^{y_{o}} d y d x = \int_{0}^{1} a \cdot \sin^{3} (\arccos (\sqrt[3]{\frac{x}{a}})) d x

das solltest du partiell integrieren. Mit einem Oberflächenintegral wäre es wahrscheinlich einfacher.

20:17 Uhr, 13.06.2010

Ahja..

und dass das r von 0 bis 2Pi geht fällt wohl dann weg???

kann man auch mithilfe von Polarkoordinaten berechnen, und wenn ja wie???

Danke @ Alx

12:57 Uhr, 15.06.2010

Ja das fällt weg weil ja

t

weggefallen ist. Das kann man auch mit Polarkoordinaten machen, schau mal da:

http//matheraum.de/forum/Flaecheninhalt_Astroide/t141389

http//www.matheboard.de/archive/27723/thread.html

kannst ja fragen wenn du was nicht verstehst.

15:19 Uhr, 15.06.2010

Danke @ Alx, habe eine noch bessere Variante gefunden, nämlich über die Leibnizsche Sektorenformel...

DANKE nochmals

15:21 Uhr, 15.06.2010

Ja, ich war mir nicht sicher was du alles benutzen kannst, das kann man auch mit den Satz von Green machen u.s.w.

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