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Bernoulische Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Bernoulische Ungleichung

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20:10 Uhr, 06.11.2019

Hallo ich habe folgende folgende Übungsaufgabe bekommen jedoch weiß ich ich nicht was ich wie hier zeigen soll.
Soll ich die Aufgabe per Induktion beweisen oder was wird von mir hier erwartet?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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20:27 Uhr, 06.11.2019

Hallo,

es scheint dir freigestellt zu sein. Meine Idee wäre die Ungleichung mit arithm. Mittel und geom. Mittel zu verwenden.

Gruß

pivot

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20:36 Uhr, 06.11.2019

Also wie ich das geometrische Mittel auf die linke Seite anwenden soll sehe ich, denke ich.
Jedoch ist mir nicht ersichtlich wie ich das arithmetische Mittel auf die rechte Seite anwenden soll weil, das

n

im Nenner steht,

x

aber nicht im Zähler.

Soll ich die rechte Seite irgendwie umformen oder wie soll ich das Handhaben?

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20:38 Uhr, 06.11.2019

Hast du schon die Ungleichung mit

(1 + n x)

multipliziert ?

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20:44 Uhr, 06.11.2019

Meinst du so 1+nx(1-x)^n kleiner, gleich 1 ?

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20:49 Uhr, 06.11.2019

Genau.

Jetzt gilt allgemein

n_{\sqrt{x_{1} \cdot x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n}}} \leq \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}

bzw.

x_{1} \cdot x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n} \leq {(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n})}^{n}

Dies auf dein Problem übertragen.

Edit: Du hast die Klammer vergessen:

(1 + n x) (1 - x)^{n} \leq 1

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20:54 Uhr, 06.11.2019

Genau hier liegt mein Problem bzw. endet mein mathematisches Verständnis.

Ich weiß nicht wie ich die Ungleichung aus der Aufgabenstellung in diese Form bringen soll.
Ich kann doch nicht einfach die Wurzel auf der rechten Seite ziehen oder etwa doch?

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20:58 Uhr, 06.11.2019

>>Ich kann doch nicht einfach die Wurzel auf der rechten Seite ziehen oder etwa doch?<<

Doch. Da die Faktoren negativ sind. Wieviele Faktoren hast du auf der linken Seite?

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21:01 Uhr, 06.11.2019

Ich habe 2 Faktoren auf der linken Seite welche durch die Multiplikation zu einem negativen Faktor werden sollte. aber darf ich 1+nx*(1-x)^n multiplizieren? Steht die Potenz da nicht im Weg?

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21:05 Uhr, 06.11.2019

Genau das mit der Potenz ist der Knackpunkt. Wieviel Faktoren sind denn

(1 - x)^{n}

?

Du hast wieder die Klammer vergessen:

(1 + n x) * (1 - x)^{n}

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21:10 Uhr, 06.11.2019

Also

{(1 - x)}^{n}

ist ein Faktor bzw. sind in der Klammer 2 Summanden.

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21:12 Uhr, 06.11.2019

Bleiben wir doch mal bei der Potenz

n

. Auf wieviele Faktoren weist das hin?

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21:15 Uhr, 06.11.2019

Eigentlich auf gar keine weil die Potenz

n

ja zu einer Wurzel wird.

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21:19 Uhr, 06.11.2019

Erst einmal sind es doch

n

Faktoren bei

(1 - x)^{n}

Die Wurzel taucht nach der Umformung auf der linken Seite nicht mehr auf. Deswegen habe ich die ja auch gemacht. Siehe Beitrag um 20.49 Uhr.

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21:28 Uhr, 06.11.2019

Aber wird nicht immer eine Wurzel erschienen trotz der Umformung (weil

n

in der Form

\frac{1}{n}

in der Potenz auftaucht?).
Durch die Multiplikation von (1+nx) ist die Potenz ja noch nicht verschwunden, worduch da ja eigentlich (1+nx)* n-te Wurzel von

(1 - x) <

kleiner gleich 1 steht.

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21:31 Uhr, 06.11.2019

Du musst jetzt erst einmal

(1 - x)^{n} \cdot (1 + n x) i n s g e s a m t b e t r a c h t e n .

Wieviele Faktoren? Wie sieht das entsprechende arthmetische Mittel aus?

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21:36 Uhr, 06.11.2019

Da sind zwei Faktoren (1+nx) und

{(1 - x)}^{n}

.
Das arithmetische Mittel sollte so Aussehen:
((1+nx)*(1-x)^2))/n

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21:38 Uhr, 06.11.2019

Bitte lies dir nochmal durch was ich um 21:19 Uhr geschrieben habe.

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21:44 Uhr, 06.11.2019

Also um

21 : 19

steht

{(1 - x)}^{n}

was laut Definition eine Wurzel ist (weil

0 < n < 1

ist).
Wir sind doch noch gar nicht in der Form von

20 : 49

auf der du im Beitrag von

21 : 19

verweist, deswegen bin ich gerade verwirrt.

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21:51 Uhr, 06.11.2019

Wir sind doch noch gar nicht in der Form von 20:49 auf der du im Beitrag von 21:19 verweist, deswegen bin ich gerade verwirrt.

Immer Schritt für Schritt vorgehen.

Ist folgendes eigentlich jetzt klar?

>>Erst einmal sind es doch

n

Faktoren bei

(1 - x)^{n}

<<

 Ja

 Nein

 Vielleicht

Bitte ankreuzen.

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21:54 Uhr, 06.11.2019

Die gewünschte Antwort ist das dort n-Faktoren sind aber wie sollen da

n

Faktoren sein wenn dort eine Wurzel steht.

Also kreuze ich vielleicht an.

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22:00 Uhr, 06.11.2019

In der zweiten Zeile um

20 : 49

steht doch auf der linken Seite keine Wurzel mehr.

Bleiben wir bei der zweiten Zeile.

Was steht auf der linken Seite?

Was steht dann entsprechend auf der rechten Seite?

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22:00 Uhr, 06.11.2019

Ok vielleicht hilft es ja bei meinem Verständnis wenn ich wüsste wie viele Faktoren es bei

z . B \frac{1}{5} = n

gibt.

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22:01 Uhr, 06.11.2019

Bitte bleibe bei dem was ich eben geschrieben habe.

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22:11 Uhr, 06.11.2019

Achso oh ich habe mich in der Aufgabenstellung verlesen

x

hat die Bedingung

0 < x < 1

und nicht

n,

also hat

{(1 - x)}^{n}

n-Faktoren.
(Also ((1+nx)(1-x)(1-x)(1-x)(1-x)^n-3) oder (1+nx)(1-x)^n kleiner gleich

1)

HAL9000

22:18 Uhr, 06.11.2019

Die "normale" Bernoullische Ungleichung

(1 + x)^{n} \geq 1 + n x

darf als bekannt vorausgesetzt werden? Falls ja, dann sollte man vielleicht mal über

(1 - x)^{n} \cdot (1 + x)^{n} = (1 - x^{2})^{n} \leq 1

nachdenken...

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22:19 Uhr, 06.11.2019

Du machst es dir viel zu kompliziert.

Linke Seite:

\underset{Ein Faktor}{\underset{⎵}{(1 - n x)}} \cdot \underset{n Faktoren}{\underset{⎵}{(1 - x) \cdot (1 - x) \cdot . . . \cdot (1 - x)}}

Das macht insgesamt

n - 1

Faktoren.

Für die rechte Seite musst du jetzt aus den

n + 1

Faktoren das arithmetische Mittel bilden und die (n+1)-te Wurzel ziehen.

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22:25 Uhr, 06.11.2019

meinst du

{(\frac{1}{n})}^{n + 1}

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22:30 Uhr, 06.11.2019

Leider nicht. Das arithmetische Mittel aus den

n + 1

Faktoren ist

\frac{(1 + n x) + n \cdot (1 - x)}{n + 1}

Danach die

(n + 1)

-te Wurzel ziehen.

Ist der Zähler nachvollziehbar? Wenn ja, was erhält man nach einer Vereinfachung?

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22:49 Uhr, 06.11.2019

Nein ich kann es leider nicht nachvollziehen warum im Zähler oder generell auf der rechten Seite der Ungleichung auf einmal ein Bruch erscheint wenn man Potenziert.
Ich habe leider komplett den Faden verloren.
Glücklicherweise kann ich die linke Seite der Ungleichung nachvollziehen (1+nx)

\cdot {(1 - x)}^{n}

.

Ich kann nachvollziehen wenn es frustrierend ist das wir trotz deiner Bemühungen nicht wirklich weiterkommen aber ich habe nicht das nötige Verständnis um diese Aufgabe nachzuvollziehen, hätte ich dieses würde ich hier nicht fragen.
Ich bitte um Verständnis

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22:57 Uhr, 06.11.2019

Wegen des arithmetischen Mittels aus n+1 Summanden (Faktoren) ist der Zähler

(1 + x n) + \underset{n Summanden}{\underset{⎵}{(1 - x) + (1 - x) + . . . + (1 - x)}}

= (1 + x n) + n \cdot (1 - x)

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23:01 Uhr, 06.11.2019

Warum werden jetzt aus den Faktoren Summanden?

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23:09 Uhr, 06.11.2019

Das besagt doch gerade die Ungleichung vom geom. und arithm. Mittel. Und diesen Satz verwenden wir.

geom. Mittel \leq arithm. Mittel

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23:14 Uhr, 06.11.2019

Ok also zum festhalten

(1 + n \cdot x) \cdot {(1 - x)}^{n}

kleiner gleich

\frac{(1 + n \cdot x) + n \cdot (1 - x)}{n} + 1

ist bisher die Ungleichung die wir aufgestellt haben, um die Bernoulische Ungleichung zu zeigen.
Wie geht es weiter?

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23:20 Uhr, 06.11.2019

Genau. Du meinst sicher

\frac{(1 + n x) + n \cdot (1 - x)}{n + 1}

.

Nun den Zähler vereinfachen. Die erste Klammer kannst du einfach weglassen. Die zweite Klammer ausmultiplizieren. Und dann den Term im Zähler zusammenfassen.

Ganz am Schluss müssen wir noch die (n+1)-te Wurzel ziehen. Das ist aber erstmal nicht so wichtig.

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23:26 Uhr, 06.11.2019

\frac{1 - 2 \cdot n \cdot x + n}{n + 1}

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23:31 Uhr, 06.11.2019

Leider nicht.

(1 + n x) + n \cdot (1 - x) = 1 + n x + n \cdot (1 - x) = 1 + n x + n - n x = . . .

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23:34 Uhr, 06.11.2019

Oh ja da war ein

n

zu viel bei mir, ich bitte um Nachsicht es ist schon spät.

\frac{1 + n \cdot x + n - n \cdot x}{n + 1} = \frac{n + 1}{n + 1} = 1

So jetzt sind wir wieder bei der 1 angekommen.
Also

(1 + n \cdot x) \cdot {(1 - x)}^{n}

kleiner gleich siehe oben.

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23:36 Uhr, 06.11.2019

Edit2: Ich sehe gerade du bist schon einen Schritt weiter.

Alles soweit richtig.

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23:50 Uhr, 06.11.2019

Also hier der komplette Lösungsweg:

{(1 - x)}^{n}

kleiner gleich

\frac{1}{1 + n \cdot x}

(multipliziert mit

(1 + n \cdot x))

\Rightarrow (1 + n \cdot x) \cdot {(1 - x)}^{n}

kleiner gleich 1 (verwenden des geometrischen und arithmetischen Mittels)

\Rightarrow (1 + n \cdot x) \cdot {(1 - x)}^{n}

kleiner gleich

\frac{(1 + n \cdot x) + n \cdot (1 - x)}{n + 1}

(ausmultiplizieren des Zählers)

\Rightarrow (1 + n \cdot x) \cdot {(1 - x)}^{n}

kleiner gleich

\frac{n + 1}{n + 1}

(kürzen des Bruchs)

\Rightarrow (1 + n \cdot x) \cdot {(1 - x)}^{n}

kleiner gleich 1

Somit ist die Ungleichung anhand des geometrischen und arithmetischen Mittels gezeigt worden.

(Ist das so ok? Ich bin mir bei der Schreibweise des geometrischen Mittels unsicher)

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23:57 Uhr, 06.11.2019

So richtig?

Also hier der komplette Lösungsweg:

{(1 - x)}^{n}

kleiner gleich

\frac{1}{1 + n \cdot x}

(multipliziert mit

(1 + n \cdot x))

\Rightarrow (1 + n \cdot x) \cdot {(1 - x)}^{n}

kleiner gleich 1 (verwenden des geometrischen und arithmetischen Mittels)

\Rightarrow (1 + n \cdot x) \cdot {(1 - x)}^{n + 1}

kleiner gleich

{(\frac{(1 + n \cdot x) + n \cdot (1 - x)}{n + 1})}^{n + 1}

(ausmultiplizieren des Zählers)

\Rightarrow (1 + n \cdot x) \cdot {(1 - x)}^{n + 1}

kleiner gleich

{(\frac{n + 1}{n + 1})}^{n + 1}

(kürzen des Bruchs)

\Rightarrow (1 + n \cdot x) \cdot {(1 - x)}^{n + 1}

kleiner gleich

1^{n + 1}

Somit ist die Ungleichung anhand des geometrischen und arithmetischen Mittels gezeigt worden.

(Ist das so ok? Ich bin mir bei der Schreibweise des geometrischen Mittels unsicher)

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00:04 Uhr, 07.11.2019

Ich würde schon das geometrische Mittel am Anfang hinschreiben. Ansonsten Sieht es gut aus.

Verwendung der Ungleichung bezüglich des geom. und arith. Mittels.

n + 1 \sqrt{(1 + n x) + (1 - x)^{n}} \leq \frac{(1 + n x) + n \cdot (1 - x)}{n + 1}

Rechte Seite vereinfachen.

....

n + 1 \sqrt{(1 + n x) \cdot (1 - x)^{n}} \leq 1

Mit

n + 1

potenzieren.

(1 + n x) \cdot (1 - x)^{n} \leq 1^{n + 1}

(1 + n x) \cdot (1 - x)^{n} \leq 1

(1 - x)^{n} \leq \frac{1}{1 + n x}

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00:08 Uhr, 07.11.2019

Also jetzt hast du mich mit deiner Antwort verwirrt da bei deiner Lösung mein geschriebener Teil fehlt. Könntest du deine Lösung mit meiner verbinden und als nochmal hinschreiben?
(Nur wenn dies nicht zu fordernd wäre!)

HAL9000

00:09 Uhr, 07.11.2019

Gegen so ein Gesamtkunstwerk von ca. 40 Beiträgen im Ringen um AMGM kann der zwar nicht anstinken, aber hier dennoch der oben angedeutete Alternativweg bei Kenntnis der normalen Bernoullischen Ungleichung

(1 + x)^{n} \geq 1 + n x

:

Multipliziert mit

(1 - x)^{n} \geq 0

ergibt diese

(1 + n x) (1 - x)^{n} \leq (1 + x)^{n} (1 - x)^{n} = ((1 + x) (1 - x))^{n} = (1 - x^{2})^{n} \leq 1

.

Division durch

(1 + n x) > 0

liefert die Behauptung

{(1 - x)}^{n} \leq \frac{1}{1 + n x}

.

EDIT: Tippfehler korrigiert ... ist halt spät. ;-)

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00:15 Uhr, 07.11.2019

Ist schon Ok so wie du es geschrieben hast. Du musst nur am Anfang erwähnen, dass du von der zweiten Zeile ausgehst im Beitrag um 20:49 Uhr.

Hier unten switcht du auf der linken Seite von

n

auf

n + 1

. Bleib beim

n

⇒

(1 + n \cdot x) \cdot (1 - x)^{n}

kleiner gleich 1 (verwenden des geometrischen und arithmetischen Mittels)

⇒

(1 + n \cdot x) \cdot (1 - x)^{n + 1}

kleiner gleich .... (ausmultiplizieren des Zählers)

ermanus aktiv_icon

00:20 Uhr, 07.11.2019

Hallo,
ich finde das alles zu aufwändig. Daher wäre vollst. Induktion
das Mittel meiner Wahl. Der Aufwand wäre dabei niedrig.
Gruß ermanus

P.S.: sehe gerade erst die elegante Lösung von HAL9000, ziehe meinen
Vorschlag daher zurück.

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00:22 Uhr, 07.11.2019

Ich werde meine vollständige Antwort morgen nochmal so um

15 : 00

zum rüberschauen hier nochmal hinschreiben aber ich glaube ich habe es endlich verstanden.

Vielen lieben dank für deine Hilfe Pivot ich schaue morgen nochmal alles an wozu du mir verholfen hast.
Jetzt gehe ich erstmal schlafen also gute Nacht und nochmal Dankeschön das du soviel Geduld mit mir hattest.

JoMik aktiv_icon

23:27 Uhr, 07.11.2019

Danke für die Hilfe und dir erbrachte Geduld.

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03:34 Uhr, 08.11.2019

Danke für die Rückmeldung. Ich denke es sollte auch alles klar sein.

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