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Bernoulli-Ketten

Schüler Berufskolleg, 13. Klassenstufe

Tags: Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeit

lilko aktiv_icon

18:26 Uhr, 28.04.2013

Habe leider gerade Probleme mit Stochastik und freue mich über jede Hilfe! :-)

Eine Maschine stellt Schrauben mit einem Ausschuss von

5 %

her. Wie groß ist die Wahrhscheinlichkeit, dass unter vier zufällig ausgewählten Schrauben keine Ausschussware ist?

Also, da bei einer Schraube die Wahrscheinlichkeit, dass sie intakt ist bei

95 %

liegt würde die Wahrscheinlichkeit für vier Schrauben bei

{0,95}^{4} = 0,8145

liegen, oder?

Ich habe aber auch versucht die Aufgabe mit dem Satz von Bernoulli zu lösen:

P (X) = (\frac{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

Da es sich um eine Kette mit der Länge 4 handelt ist

n = 4

.
Die Wahrscheinlichkeit

p

liegt bei

0,95

.
Und

k = 0,

da keine Schraube defekt sein soll.

Also:

P (X) = (\frac{4}{0}) \cdot {0,95}^{0} \cdot {(1 - 0,95)}^{4}

Das ERgebnis stimmt nur leider nicht mit dem aus meinem ersten Lösungsansatz überein..

: - (

. Wo ist mein Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

Eva88 aktiv_icon

18:41 Uhr, 28.04.2013

Erst rechnest du

{0,95}^{4}

dann

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

1 \cdot 1 \cdot {0,05}^{4}

Kann doch nicht zur selben Lösung führen.

lilko aktiv_icon

18:48 Uhr, 28.04.2013

Wieso ist

(\frac{4}{0})

bei dir

= 1

? Oder wieso steht da zweimal 1?

Klar komme ich damit nicht auf as richtige Ergebnis. Aber sollte ich das bei richtig angewendeter Formel nicht eigentlich?
Sind beides nicht Wege um die entsprechende Wahrscheinlichkeit zu berechnen, oder verrenne ich mich da gerade?

Eva88 aktiv_icon

18:50 Uhr, 28.04.2013

Erst berechnest du viermal eine heile zu ziehen, dann viermal eine kaputte zu ziehen.

Deshalb die unterschiedlichen Zahlenwerte.

lilko aktiv_icon

18:53 Uhr, 28.04.2013

Das verstehe ich nicht. Ich habe zu

95 %

eine intakte Schraube. Da ich auch eine intakte Schraube finden will nehme ich in beiden Fällen

0,95

. Warum sollte ich

0,05

nehmen?

Und nochmal, wo kommt deine 1 her?

Und natürlich danke für die Zeit&Mühe.

Eva88 aktiv_icon

18:55 Uhr, 28.04.2013

(\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) = 1

{0,05}^{0} = 1

lilko aktiv_icon

18:59 Uhr, 28.04.2013

Wieso ist

(\frac{4}{0}) = 1

Eva88 aktiv_icon

19:03 Uhr, 28.04.2013

(\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) = \frac{4!}{0! \cdot (4 - 0)!} = \frac{24}{1 \cdot 24} = 1

lilko aktiv_icon

19:05 Uhr, 28.04.2013

Ich komme mir jetzt echt blöd vor, aber ich verstehe es leider immer noch nicht. was soll das ausrufezeichen?

Eva88 aktiv_icon

19:09 Uhr, 28.04.2013

Wie berechnest du denn

n

über

k

wenn du nicht weißt was die Fakultät ist?

(4!) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24

(3!) = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6

lilko aktiv_icon

19:14 Uhr, 28.04.2013

Ich schätze ich habe bislang immer nur den Betrag, also die Länge, des Vektors errechnet.
Wie genau nennt man denn nun dein Ergebnis?
Und wie lautet eine allgemeine Formel dazu?

Und wieso muss ich dann in der Formel

0,05 = p

nehmen. Rechnerisch sehe ich, dass das passt, aber rein logisch kann ich das nicht nachvollziehen.

Eva88 aktiv_icon

19:17 Uhr, 28.04.2013

Wieso Vektor? Mit Vektoren hat das gar nichts zu tun. Ist einfach

n

über

k

und wird mit der Formel berechnet. Wenn du die Fakultät in der Schule noch nicht hattest, dann kannst du auch die Bernulli Kette nicht verwenden.

sm1kb aktiv_icon

19:26 Uhr, 28.04.2013

Hallo lilko,
die Sache mit der Bernoulli-Verteilung zu lösen ist schon o.k.:
Trefferwahrscheinlichkeit für Ausschuss ist

p = 0.05

n = 4

Schrauben werden ausgewählt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für Null Treffer, also:

P (X = 0) = (\begin{array}{rcl} 4 \\ 0 \end{array}) \cdot 0.0 5^{0} \cdot (1 - 0.05)^{4} = 81.45 %

.
Die Wahrscheinlichkeit ist groß für Null Treffer, weil p klein ist.
Gruß von sm1kb

lilko aktiv_icon

19:35 Uhr, 28.04.2013

Ok, ihr zwei. Ich glaube ich mache dank eurer Hilfe Fortschritte.:-)

Aber obwohl ich die Fakultät noch nicht aus der Schule kenne brauche ich sie hier offentsichtlich. In welchem Thema wird einem das den üblicherweise nähergebracht?
Und, am wichtigsten, wie berechne ich die ganz allgemein?

Wäre es so korrekt (hab ich mir mal aus der Beispielrechung von Eva ermittelt):

(\frac{x}{y}) = \frac{x!}{y! \cdot (x - y)!}

Eva88 aktiv_icon

19:37 Uhr, 28.04.2013

Die Fakultät wird normalerweise in der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt.

lilko aktiv_icon

19:43 Uhr, 28.04.2013

und war mein Ansatz jetzt richtig?

Eva88 aktiv_icon

19:44 Uhr, 28.04.2013

Die Formel ist ok, allerdings gibt es da noch ein paar Regeln.

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