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Bernoulli Ungleichung in einer Induktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Bernoulli-Ungleichung, Induktion

Lyla93 aktiv_icon

16:30 Uhr, 07.11.2013

Ich habe diese Aufgabe zu lösen:
Zeige für alle n

\in ℕ

die Ungleichung:

(\frac{n + 1}{2})^{n} \geq n!

durch vollständige Induktion (verwende an geeigneter Stelle die Bernoullische Ungleichung)

Bisher bin ich soweit:
Induktionsanfang: n=1:

(\frac{1 + 1}{2})^{1} = (\frac{2}{2})^{1} = 1^{1} = 1 \geq 1 = 1!

Induktionsvoraussetzung: Gelte für ein

n \in ℕ : (\frac{n + 1}{2})^{n} \geq n!

Induktionsbehauptung: zu zeigen:

(\frac{(n + 1) + 1}{2})^{n + 1} \geq (n + 1)!

Und jetzt komme ich nicht weiter. Ich schaffs nicht mal zu dem Schritt, bei dem man die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

whyn0t aktiv_icon

16:47 Uhr, 07.11.2013

Als Tipp: Du musst hier nur die Ungleichung beweisen. Du darfst also abschätzen. Verwende:

{(\frac{n + 2}{2})}^{n + 1} \geq {(\frac{n + 1}{2})}^{n + 1}

und versuche

{(\frac{n + 1}{2})}^{n + 1} \geq (n + 1)!

zu zeigen

Lyla93 aktiv_icon

18:33 Uhr, 08.11.2013

Danke für den Tipp. Allerdings komm ich nach gefühlten 1000 Versuchen trotzdem nicht ans Ziel. Egal wie ich weiter mache, es klappt einfach nicht :( Bräuchte noch weitere Hilfe.

Shipwater aktiv_icon

19:48 Uhr, 08.11.2013

Gehe einfach mal ganz klassisch vor: Ersetzt du in

{(\frac{n + 1}{2})}^{n}

alle

n

duch

n + 1

dann entsteht

{(\frac{n + 2}{2})}^{n + 1}

. Da du die Induktionsvoraussetzung anwenden willst, schreibst du das um zu

{(\frac{n + 1}{2})}^{n} \cdot \frac{{(\frac{n + 2}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{n + 1}{2})}^{n}} = {(\frac{n + 1}{2})}^{n} \cdot \frac{{(n + 2)}^{n + 1}}{2 {(n + 1)}^{n}} \geq n! \cdot \frac{{(n + 2)}^{n + 1}}{2 {(n + 1)}^{n}}

wobei letzte Abschätzung gerade aus der IV folgt.
Am Ende möchtest du

\geq (n + 1)!

da stehen haben, also bleibt

n! \cdot \frac{{(n + 2)}^{n + 1}}{2 {(n + 1)}^{n}} \geq (n + 1)! \Leftrightarrow \frac{{(n + 2)}^{n + 1}}{2 {(n + 1)}^{n}} \geq n + 1

zu zeigen. Nun steht in der Aufgabenstellung ja noch etwas von der Bernoullischen Ungleichung also wird diese wohl hilfreich sein, um diese Ungleichung nachzuweisen. Das darfst du mal selbst versuchen.

Lyla93 aktiv_icon

09:49 Uhr, 11.11.2013

Also anscheinend stelle ich mich echt blöd an... Ich komm immer noch nicht drauf.

Soweit bin ich mit dem Tipp von whyn0t gekommen:

(\frac{n + 1}{2})^{n + 1} = (\frac{n + 1}{2})^{n} * \frac{n + 1}{2}

jetzt: Induktionsvoraussetzung:

(\frac{n + 1}{2})^{n} \geq n!

nun noch zu zeigen:

(\frac{n + 1}{2}) \geq (n + 1)

. Ab hier macht es für mich keinen Sinn mehr, denn wenn ich nun mit (n+1) durch dividieren, dann erhalte ich

0.5 \geq 1

was ja nicht passt.

Dann mit dem Tipp von Shipwater:
es bleibt zu zeigen:

\frac{(n + 2)^{n + 1}}{2 (n + 1)^{n}} \geq n + 1

Jetzt wollte ich auf

(n + 2)^{n + 1}

die Bernoullische Ungleichung anwenden: Bei Bernoulli gilt ja:

(1 + x)^{n} \geq 1 + n * x

, also hier:

(2 + n)^{n + 1} \geq 2 + (n + 1) n = 2 + n ² + n

Ich multipliziere vorher noch beide Seiten meiner Ungleichung mit

2 (n + 1)^{n}

und erhalte:

2 + n ² + n \geq (n + 1) * 2 (n + 1)^{n} = 2 * (n + 1)^{n + 1}

Und von da an stecke ich auch total fest....

Shipwater aktiv_icon

12:23 Uhr, 11.11.2013

Wenn du Bernoulli anwenden willst, musst du auch erstmal die 1 da haben also

{(2 + n)}^{n + 1} = {(1 + 1 + n)}^{n + 1} \geq 1 + {(n + 1)}^{2} = n^{2} + 2 n + 2

Diese Abschätzung hilft aber nicht wirklich weiter. Ich dachte eher so:

\frac{{(n + 2)}^{n + 1}}{2 {(n + 1)}^{n}} = \frac{{(n + 2)}^{n}}{{(n + 1)}^{n}} \cdot \frac{n + 2}{2} = {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n} \cdot \frac{n + 2}{2}

Wende jetzt Bernoulli an und schaue ob du dann weiterkommst.

Lyla93 aktiv_icon

14:49 Uhr, 11.11.2013

Danke Shipwater für die Geduld mit mir ;-)

Also ich bin jetzt soweit:

(1 + \frac{1}{n + 1})^{n} * \frac{n + 2}{2}

. Nun, wie du gesagt hast, Bernoulli:

(1 + \frac{1}{n + 1})^{n} \geq 1 + n * \frac{1}{1 + n} = 1 + \frac{n}{n + 1}

das bedeutet eingesetzt:

(1 + \frac{1}{n + 1})^{n} * \frac{n + 2}{2} \geq (1 + \frac{n}{n + 1}) * \frac{n + 2}{2} = \frac{n + 2}{2} + \frac{2 n + n ²}{2 n + 2}

jetzt muss ich ja noch zeigen, dass gilt:

\frac{n + 2}{2} + \frac{2 n + n ²}{2 n + 2} \geq (n + 1)!

oder? ich weiß irgendwie gar nicht, wie ich die Fakultät einbringen soll?

Shipwater aktiv_icon

14:54 Uhr, 11.11.2013

Nein, du musst nur noch zeigen, dass es

\geq n + 1

ist.

Lyla93 aktiv_icon

15:08 Uhr, 11.11.2013

Wieso denn ohne die Fakultät?

Shipwater aktiv_icon

15:14 Uhr, 11.11.2013

Schau in meinem Beitrag von

8.11.13

19 : 48 h

Lyla93 aktiv_icon

15:32 Uhr, 11.11.2013

Ach ja genau, diesen Schritt hatte ich mittlerweile schon wieder vergessen ;-)

Kannst du mir noch schnell absegnen, ob dass dann so passt:

ich will zeigen: