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Bernoulli-Zahlen ungeradenen Indexes verschwinden

Universität / Fachhochschule

Tags: Bernoulli

 
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Sukomaki

Sukomaki aktiv_icon

17:09 Uhr, 28.09.2020

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Hallo,

ich möchte zeigen, dass die Bernoulli-Zahlen mit ungeradem Index größer 1 verschwinden.

Die Taylor-Reihe zu xexp(x)-1 ist k=0Bkxkk!.

Nun betrachte ich die Funktion f(x)=xexp(x)-1+x2

Das ist xexp(x)-1exp(-x)exp(-x)+x2=xexp(-x)1-exp(-x)+x2=x(exp(-x)-1)+x1-exp(-x)+x2=-x+x1-exp(-x)+x2

und zuletzt ist das -xexp(-x)-1+-x2=f(-x)

Also ist f(x) gerade.

Die Taylor-Reihe einer geraden Funktion enthält nur gerade Exponenten.

Daraus folgt, dass die ungeraden Bk verschwinden.

Daraus wiederum folgt, dass B2j+1=0

Kennt jemand noch einen anderen Beweis?

Gruß
Maki

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HAL9000

HAL9000

16:24 Uhr, 29.09.2020

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Es íst f(x)=x2(2exp(x)-1+1)=x2exp(x/2)+exp(-x/2)exp(x/2)-exp(-x/2). (*)

Könnte man mit hyperbolischen Funktionen auch noch schreiben als f(x)=x2coth(x2), aber auch bereits (*) sieht man die Geradheit nahezu direkt an:

a) x2 ungerade,
b) exp(x/2)+exp(-x/2) gerade,
c) exp(x/2)-exp(-x/2) ungerade.

Sukomaki

Sukomaki aktiv_icon

10:41 Uhr, 30.09.2020

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Und eine ungerade Funktion multipliziert mit einer geraden Funktion
dividiert durch eine ungerade Funktion gibt eben eine gerade Funktion.

Stimmts? :-)

Vielleicht kennt ja jemand noch einen völlig anderen Beweis?

Antwort
HAL9000

HAL9000

13:22 Uhr, 30.09.2020

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> Stimmts? :-)

Ja, genauso meine ich es.

Frage beantwortet
Sukomaki

Sukomaki aktiv_icon

14:07 Uhr, 01.10.2020

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Ich danke Dir für die Hilfe.