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Bernoulli normalapproximation Anzahl der Versuche

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

JonathanFranks aktiv_icon

15:34 Uhr, 06.12.2017

Hallo liebes Mathe Forum!
Ich komme nicht mehr weiter bei dieser Aufgabe :
Wieviele Versuche muss man in einem Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlich- keit

p = 0.8

mindestens machen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens

30

Erfolge zu erzielen, nicht geringer ist als

0.975

? Rechnen Sie mit der Normalapproximation der
Binomialverteilung

Nun gilt ja für die normalverteilung N(E

[

X],var(X)). Also gilt dann für die approximation dann N(np , npq) also

N (n \cdot 0.8, n \cdot 0.8 \cdot 0.2)

?

Und wie rechne ich dann weiter ??

Danke für eure Hilfe im Voraus !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

07:48 Uhr, 07.12.2017

Die Anzahl Erfolge

X

n

Bernoulle-Versuchen mit W-keit

p

ist binomial

B_{n, p}

verteilt.

B_{n, p}

ist approximativ

N (n p, \sqrt{n p (1 - p)})

verteilt.
Für die W-keit

X \geq 30

haben also:

P (X \geq 30) = P (\frac{X - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}} \leq \frac{30 - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}}) \approx Φ (\frac{30 - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}})

, wobei

Φ

die Verteilungsfunktion der

N (0, 1)

-Variable ist, denn

\frac{X - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}}

ist annähernd

N (0, 1)

.

Damit haben die Aufgabe

n

so zu finden, dass

Φ (\frac{30 - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}}) \geq 0.975

.
Mit Hilfe der Tabelle de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung
weiß man, dass dies äquivalent zu

\frac{30 - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}} \geq 1.96

ist. Der Rest ist einfache Rechnerei. Man setzt

p = 0.8

ein und umformt.

JonathanFranks aktiv_icon

09:24 Uhr, 07.12.2017

Vielen Dank DrBoogie, das hat mir sehr geholfen !
Also ist die normalverteilung mit der standardabweichung approximiert und nicht der Varianz.

Danke!

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