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Bertrand Wettbewerb

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Tags: Bertrand Wettbewerb, inverse Nachfrage, Nachfrage, Sonstig, vwl

Anne1994 aktiv_icon

19:45 Uhr, 12.05.2019

Hallo zusammen,

bei folgender Aufgabe habe ich Schwierigkeiten:
Nachfrage nach homogenem Gut:

Q^{D}

(p)=2.000-

\frac{1}{2}

p^{2}

In Periode 1: Firma 1 ist monopolistischer Anbieter des Gutes und setzt seinen Preis

p_{1},_{1}

Firma 2 kann über Markteintritt in Periode 2 entscheiden
Tritt Firma 2 ein: Firma 2 muss Eintrittskosten E zahlen und es kommt zum Bertrand Wettbewerb
Bei Produktion von

q_{2}

Einheiten des Gutes fallen für Firma 2 Kosten i.H.v.

c_{2}

(

q_{2}

)=30*

q_{2}

an (-> ist allgemein bekannt)
Kostenfunktion für Firma 1 nur dieser selbst bekannt
Firma 2 schätzt, dass Kostenfunktion für Firma 1 mit WSK von

λ

c_{1},_{h}

=40*

q_{1}

beträgt (-> hohe Kosten) und mit WSK (1-

λ

)

c_{1},_{n}

=20*

q_{1}

(niedrige Kosten)

Jetzt soll ich die Gewinne der beiden Firmen ausrechnen, wenn Firma 2 in den Markt eintritt und zwar für zwei Fälle: für niedrige und für hohe Kosten für Firma 1. Ich hätte jetzt damit angefangen, die inverse Nachfragefunktion aufzustellen und dann die Gewinnfunktion zu bilden. Allerdings bekomme ich eine komische inverse Nachfragefunktion heraus, die falsch sein muss (p=

\sqrt{} 1.0000

\frac{\sqrt{} Q^{D}}{\frac{1}{2}}

-> Die 1. Wurzel gilt für die 1.000 und die 2. Wurzel für den ganzen Bruch.

Ich hoffe, jemand kann mir helfen?!

Enano

02:02 Uhr, 13.05.2019

Moin,

"Allerdings bekomme ich eine komische inverse Nachfragefunktion heraus, "

Ja, komisch und falsch.

Wie hast du es geschafft darauf zu kommen?

"Die 1. Wurzel gilt für die 1.000"

Welche

1000

Q = 2000 - \frac{1}{2} \cdot p^{2} | - 2000

Q - 2000 = - \frac{1}{2} \cdot p^{2} | \cdot (- 2)

- 2 \cdot Q + 4000 = p^{2} | \sqrt{}

p = \sqrt{- 2 \cdot Q + 4000}

Anne1994 aktiv_icon

11:56 Uhr, 14.05.2019

Oh ja! Da habe ich einen Rechenfehler eingebaut. 1.000 sind natürlich falsch.

Jetzt habe ich also die inverse Nachfragefunktion. Um den Gewinn auszurechnen muss ich doch p*Q-Kosten rechnen.

Wenn ich also für Unternehmen 1 den Gewinn bei hohen Kosten (also

c_{1},_{h}

=40*

q_{1}

) ausrechnen will, muss ich so vorgehen:
Gewinn=

\sqrt{2 * Q - 2000}

*

q_{1}

-40

q_{1}

diese Funktion dann ableiten und gleich Null setzen. Allerdings befürchte ich, dass ich entweder in der Funktion etwas vergessen habe oder wieder einen Rechenfehler eingebaut habe. Bei mir kommt dann nämlich raus:
Gewinn=-40*

q_{1}

Enano

13:07 Uhr, 14.05.2019

Hat dir meine Umstellung nach "p" nicht gefallen oder enthält sie einen Fehler, so dass du mit einer anderen PAF weiter rechnest?

" Gewinn=-40

\cdot q_{1}

"

Das ist ja schon wieder komisch und falsch.

Wenn du die Gewinnfunktion nach

q_{1}

ableitest, (mit

Q = q_{1},

weil Firma 1 als Monopolist die gesamte Nachfrage decken würde) und gleich Null setzt, dann hättest du doch in der Gleichung nur noch eine Unbekannte, nämlich

q_{1}

. Wenn du dann nach

q_{1}

auflöst, erhältst du einen Wert für

q_{1},

den du in die Gewinnfunktion einsetzen musst, um den Gewinn zu erhalten.

Anne1994 aktiv_icon

13:57 Uhr, 14.05.2019

Habe mit deiner inversen Nachfragefunktion weitergerechnet, habe in der oben nur das "-" vergessen.
Also ich habe folgende Gewinnfunktion aufgestellt: G=

\sqrt{- 2 * Q - 2000}

q_{1}

-40*

q_{1}

Da habe ich dann in das Q das Q aus der Aufgabenstellung eingesetzt (Q=2.000-

\frac{1}{2}

p^{2}

)
Dann formuliere ich das aus und erhalte:
G=

\sqrt{- 6.000 + p^{2}}

q_{1}

-40*

q_{1}

Bei der Ableitung mit der Wurzel bin ich mir unsicher. Wenn ich jetzt ableiten würde und gleich null setze, kommt bei mir das raus:
0=

\sqrt{- 6.000 + p^{2}}

-40

Ich weiß auch nicht inwiefern ich Firma 2 miteinbeziehen soll, weil es ja um den Fall geht, wenn Firma 2 eintritt.

Enano

15:16 Uhr, 14.05.2019

"Habe mit deiner inversen Nachfragefunktion weitergerechnet,..."

Also auch nachdem ich 1kg Möhren gegessen habe, sehe ich immer noch "meine" PAF

: p = \sqrt{- 2 \cdot Q + 4000}

"...habe in der oben nur das "-" vergessen."

Ja und aus

+ 4000

hast du

- 2000

gemacht.

"Da habe ich dann in das

Q

das

Q

aus der Aufgabenstellung eingesetzt"

Warum wolltest du denn zuerst die inverse Nachfragefunktion (PAF) aufstellen, wenn du jetzt die Nachfragefunktion einsetzt?

Das Ziel dieser Aktion war doch zunächst eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten auf der rechten Seite zu erhalten.

Was gefällt dir denn daran nicht, dass du nur noch

q_{1}

hast?

Anne1994 aktiv_icon

15:41 Uhr, 14.05.2019

Oh man, ich war mit den Gedanken noch bei einer anderen Aufgabe und habe die Funktionen gemischt. Sorry!

Also nochmal. Ich habe jetzt die inverse Nachfragefunktion p=

\sqrt{- 2 * Q + 4000}

Daraus bilde ich jetzt die Gewinnfunktion:
G=

\sqrt{- 2 * Q + 4000}

q_{1}

- 40

q_{1}

Die Nachfragefunktion hatte ich eingefügt, weil ich nicht wusste, wie sich Q zusammensetzt und ich nicht weiß, ob ich dass dann einfach als

q_{1}

"umbenennen" darf.

Wenn ich jetzt die obige Gewinnfunktion ableiten will, dann bleibt hinten nur die -40 stehen, aber wie sich das mit der Wurzel und dem *

q_{1}

verhält, da weiß ich nicht weiter. Ich hätte da folgendes herausbekommen:
-

\frac{q_{1}}{\sqrt{4000 - 2 * q_{1}}}

\sqrt{4000 - 2 * q_{1}}

-40
Allerdings kann ich mir nicht vorstellen, dass ich mit dieser Ableitung allzu weit komme.

Enano

16:26 Uhr, 14.05.2019

"Die Nachfragefunktion hatte ich eingefügt, weil ich nicht wusste, wie sich

Q

zusammensetzt und ich nicht weiß, ob ich dass dann einfach als

q 1

"umbenennen" darf."

Das kommt darauf an, was du ausrechnen möchtest. Wenn du den Zeitpunkt vor Markteintritt von Firma 2 betrachtest, könntest du so rechnen, weil ja dann Firma 1 Monopolist wäre und die gesamte Nachfrage decken könnte.

"Allerdings kann ich mir nicht vorstellen, dass ich mit dieser Ableitung allzu weit komme."

Die Ableitung stimmt.

Mit der PAF zu rechnen, war aber der falsche Ansatz.

Weil du danach gefragt hattest, habe ich mich darauf konzentriert und nicht mehr daran gedacht, dass in diesem Fall nicht von einem Cournot- sondern von einem Bertrand-Duopol ausgegangen werden soll.

Weil es sich dabei um keinen Mengen-, sondern um einen Preiswettbewerb handelt, ist die PAF gar nicht erforderlich, sondern es kann direkt mit der Nachfragefunktion gerechnet werden, so dass du nicht

q,

sondern nur noch

p

in der Gewinnfunktion hast und nach

p

und nicht nach

q

ableitest.

Die Möhren haben also doch noch was gebracht.

Könntest du vielleicht mal den Original-Aufgabentext hier wiedergeben.

Anne1994 aktiv_icon

16:47 Uhr, 14.05.2019

Das oben ist eigentlich so gut wie der Originaltext.
Mist! Hatte mich auch so auf Cournot eingeschossen -.-

Okay, dann für das Bertrand (Preiswettbewerb) und Firma 2 ist in den Markt eingetreten. Also wenn Kosten der Firma 1

c_{1}

niedrig sind, also

c_{1},_{n}

= 20*

q_{1}

dann wählt Firma 1 einen Preis minimal unter

C_{2}

.
Aber ich weiß nicht, wie genau ich die Gewinnfunktion dann aufstellen muss. Vielleicht G=(2.000 -

\frac{1}{2}

p^{2}

)*p-20*

q_{1}

?

Und weil es ja um p und nicht

q_{1}

geht in der Kostenfunktion noch p einsetzen, also:
G=p*(2.000-

\frac{1}{2}

p^{2}

)-20*(2.000-

\frac{1}{2}

p^{2}

)

Anne1994 aktiv_icon

17:12 Uhr, 14.05.2019

Wenn ich die Gewinnfunktion jetzt ableite und gleich Null setze kommt bei mir p=10 heraus.
Passt das?

Enano

17:31 Uhr, 14.05.2019

Wenn du die Gewinnfunktion für Firma 1 aufstellen möchtest

(G_{1}

nicht

G),

nachdem Firma

2

in den Markt eingetreten ist, dann würde ich davon ausgehen, dass Firma 2 den gleichen Preis bietet, wie Firma

1, d . h

. aber, dass sie sich den Markt teilen. Also würde bei einem Duopol jeder

50 %

der Nachfrage decken. Das hast du bei der Aufstellung deiner Gewinnfunktion nicht berücksichtigt.

Anne1994 aktiv_icon

17:38 Uhr, 14.05.2019

Ok, das hatte ich jetzt nicht beachtet. Wie kann ich das denn am besten in die

G_{1}

-Funktion einbauen? Einfach (2000-

\frac{1}{2}

p^{2}

) nochmal durch 2 teilen?

Enano

17:39 Uhr, 14.05.2019

Ja, so würde ich rechnen.

Anne1994 aktiv_icon

17:47 Uhr, 14.05.2019

Dann würde bei mir allerdings das als Preis herauskommen: 43.785

Das ist doch eigentlich viel zu hoch?

Enano

17:55 Uhr, 14.05.2019

Ich habe zwar einen niedrigeren Preis heraus (auch

p = 10

konnte ich nicht nachvollziehen), aber vielleicht habe ich mich auch verrechnet.
Wie kommst du darauf, dass der Preis zu hoch ist? Kennst du denn das Gut, das angeboten wird ?
Außerdem sind das ja wohl Geldeinheiten. Und wenn diese Geldeinheit PHP wäre, entspräche dieser Preis nur etwa 0,75€.

Anne1994 aktiv_icon

18:00 Uhr, 14.05.2019

Als abgeleitete Gewinnfunktion hätte ich 1.000-

\frac{3}{4} * p^{2} + 10 * p

raus. Du auch?

Enano

18:07 Uhr, 14.05.2019

Ja, du hast richtig gerechnet. Ich hatte einen Vorzeichen-Fehler drin.

Aber wie kommst du darauf, dass das zu hoch ist?

Anne1994 aktiv_icon

18:09 Uhr, 14.05.2019

Wenn ich mit dem Preis dann den Gewinn ausrechnen will, kann mir mein Taschenrechner den Gewinn nicht richtig anzeigen (zu viele Stellen etc.)

Enano

18:15 Uhr, 14.05.2019

Also ich komme auf

G_{1} \approx 12385

.

Oder sollte der Punkt kein Komma sein?

Hast wohl WolframAlpha benutzt. ;-)

Anne1994 aktiv_icon

18:18 Uhr, 14.05.2019

ok, das klingt ja schon mal besser :-D) Muss ich gleich noch mal nachrechnen. Wenn ich jetzt die restlichen Gewinne ausgerechnet habe, weißt du wie ich herausfinde, ob der Markt blockiert ist? Da weiß ich nämlich überhaupt nicht, wie ich da anfangen soll.

Anne1994 aktiv_icon

18:20 Uhr, 14.05.2019

Ne, der Punkt soll kein Komma sein :-D)

Anne1994 aktiv_icon

18:20 Uhr, 14.05.2019

Ne, der Punkt soll kein Komma sein :-D)

Enano

18:20 Uhr, 14.05.2019

Ich muss leider weg und komme erst spät zurück.
Viel Erfolg!

Anne1994 aktiv_icon

18:21 Uhr, 14.05.2019

Danke dir für die Hilfe!
Ich versuche mal weiter mein Glück :-D)

Enano

18:23 Uhr, 14.05.2019

"Ne, der Punkt soll kein Komma sein :-D))"

Na gut, dann nehme ich zurück, dass du richtig gerechnet hast.

1.000 - \frac{3}{4}

∗

p^{2} + 10

∗

p = 0

Wie sollte denn die Gleichung aufgehen, wenn du für

p = 43785

einsetzt?

Anne1994 aktiv_icon

19:33 Uhr, 14.05.2019

Ich habe jetzt nochmal nachgerechnet und bin selbst mit meinen Punkten und Kommata total durcheinander gekommen. Es kommt bei mir tatsächlich 43,785 raus!

Enano

03:10 Uhr, 15.05.2019

"Das oben ist eigentlich so gut wie der Originaltext."

Ja, mag sein, aber offenbar ist es nicht der gesamte Text, denn dass auch nach der Marktblockade gefragt wird, hattest du eingangs nicht erwähnt.

Falls

c_{1, n} = 20 \cdot q_{1}

für Firma 1 zutrifft, wäre der Markt für Firma 2 mit

c_{2} = 30 \cdot q_{2}

durch dessen Kostennachteile blockiert.
Würde bei dieser Kostenstruktur Firma 2 zum gleichen Preis anbieten, wie Firma

1,

könnte Firma 1 aber Firma 2 solange unterbieten, bis der Preis ihren Grenzkosten entspricht. Bei diesem Preis würde aber Firma 2 Verluste machen, weil deren Grenzkosten höher sind.
Weil aber das Modell davon ausgeht, dass alle beim preisgünstigsten Anbieter kaufen, gäbe es bei einem für die Firma 2 kostendeckenden Preis keine Nachfrage. Ein Markteintritt für Firma 2 bei

c_{1, n} = 20 \cdot q_{1}

wäre also nicht sinnvoll.

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