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Berührproblem berührtangente aufstellen

Schüler Realschule, 10. Klassenstufe

Tags: Berührtangende berührproblem

parano39 aktiv_icon

23:10 Uhr, 16.05.2017

Kann mir vielleicht jemand bei den aufgaben helfen? Ich habe zuerst ein beispiel wo ich

x^{2} - 2 x + 1 = 0

habe ich sollte die Schnittstelle berechnen. Aber wie kann das sein das im buch für eine gleichung 2 grades als ergebnis nur

x = 1

steht?
Dann habe 3 aufgaben kann mir jemand bitte beim lösen helfen bin mir unsicher und wüsste gerne genau wie man vorgeht und wenn ich es versuche ob es dann richig ist. Ich habe die funktion

f (x) = x^{2} + 1

und

g (x) = 1 - x^{3}

und soll zeigen dass sie sich berühren und womöglich wieder eine berührtangente aufstellen. Also zuerst fängt man an in dem man

x^{2} + 1 = 1 - x^{3}

gleichsetzt. Kann mir dann jemand helfen wie ich vorgehe also nach dem ich

x

habe und dann

y

damit ich mir sicher bin und mit meinem ergebnis vergleichen kann? Aber vorher hab ich schon eine frage die

x^{2}

und

x^{3}

lassen sich nicht zusammenfassen oder? Und vor allem habe ich bei zwei weiteren aufgaben probleme und da weis ich überhaupt gar nicht wie ich vorgehen muss. Der graph von

f (x) = a + x^{2}

soll die winkelhalbierende

g (x) = x

berühren wie muss a gewählt werden und wie ist die gleichung der berührtangente? Unf bei der letzten aufgabe die ebenfalls schwer ist. Woe muss a und

b

gewählt werden damit der graph von f(x)=ax^2

+ b

den graphen

g (x) = \frac{1}{x}

bei

x = 1

berührt? (Mit berührtangente) eäre do nett wenn mkr jemand helfen könnte

. .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Werner-Salomon aktiv_icon

23:49 Uhr, 16.05.2017

Guten Abend,

Die Funktion

x^{2} - 2 x + 1 = 0

hat nur deshalb genau eine Lösung, weil die 'Schnittstelle' auch ein Berührpunkt ist. Zeichne Dir die Funktion

f (x) = x^{2} - 2 x + 1

auf, dann siehst Du es.

Mit dem Gleichsetzen zweier Funktionen berechnet man die Schnitt- und Berührpunkte. Zeichne Dir auch hier beide Funktionen auf; dann siehst Du, dass sie sich im Punkt (0,1) berühren.
Das

x^{2}

und

x^{3}

lässt sich nicht zusammen fassen, aber in diesem Fall kann man

x

ausklammern - es ist:

x^{2} + 1 = 1 - x^{3}

auf beiden Seiten

1 - x^{3}

abziehen

x^{2} + x^{3} = 0

Jetzt

x^{2}

ausklammern

x^{2} (1 + x) = 0

Der Ausdruck ist genau dann ok, wenn einer der Faktoren im linken Produkt =0 ist. Also entweder ist

x = 0

(hatten wir schon) oder

1 + x = 0

und daraus folgt ein weiterer gemeinsamer Punkt bei

x = - 1

.

Auch die Frage nach einem

a

f (x) = a + x^{2}

, die

g (x) = x

berühren soll, lässt sich über Gleichsetzen lösen.

a + x^{2} = x

liefert die gemeinsamen Punkte beider Funktionen. Wenn eine Berührung gefordert ist, so darf es nur einen Punkt geben. Das ist eine quadratische Gleichung

x^{2} - x + a = 0

mit der Lösung

x_{1, 2} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} - a}

Und hier gibt es genau dann nur eine Lösung, wenn der Ausdruck unter der Wurzel zu 0 wird. Also muss

\frac{1}{4} - a = 0

sein. Bzw.

a = \frac{1}{4}

. Die Berührtangente ist natürlich

g (x)

- was sonst. Auch hier hilft eine Zeichnung.

Überlege Dir den Rest mal selber. Falls Du Hilfe brauchst, so frage nochmal nach. Versuche bitte in Zukunft pro Beitrag nur ein Problem darzustellen.

Gruß
Werner

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